2.12.2. Интерполирование в начале и конце таблицы

Пусть нам дана таблица значений функции для узлов , необходимо вычислить значение интерполяционного многочлена в точке x, которая находится вблизи начала таблицы, т.е. вблизи точки . Воспользуемся формулой Ньютона для неравноотстоящих узлов (2.24 ):

(2.51)

Введем новую переменную , учитывая формулу (2.49), получим 1-ю интерполяционную формулу Ньютона (для интерполирования вперед):

(2.52)

Остаточный член для этой формулы получим из (2.12) и с учетом замены переменной:

(2.53)

Пусть точка x находится вблизи конца таблицы т.е. вблизи узла . Интерполяционные узлы будем привлекать в обратном порядке: . Тогда формула Ньютона для неравноотстоящих узлов примет вид

(2.54)

Введем переменную и учитывая формулу (2.49) и замечание 2.1 получим 2-ю интерполяционную формулу Ньютона (для интерполирования назад)

(2.55)

Остаточный член для этой формулы будет следующим

(2.56)

2.12.3. Формулы Гаусса

Пусть требуется вычислить значение интерполяционного многочлена в точке x, для которой ближайшим является узел , расположенный в середине таблицы. Сначала будем предполагать, что . В интерполяционную формулу Ньютона узлы будем привлекать в следующем порядке: т.е. каждый раз привлекается ближайший к точке узел. Тогда формула Ньютона для интерполирования в точке будет иметь вид

. (2.57)

Учитывая формулу (2.49) и замечание 2.1, а также введя переменную из (2.57), получим 1-ю формулу Гаусса (для интерполирования вперед):

(2.58)

Остаточный член для 1-ой формулы Гаусса (2.58) имеет вид:

(2.59)

Если 1-я формула Гаусса является многочленом нечетной степени, то остаточный член будет следующим

(2.60)

Вторая формула Гаусса получается при интерполировании в середине таблицы, в случае когда (узел является ближайшим к точке ). При этом порядок подключения узлов в интерполяционную формулу выбирается следующим: (каждый раз привлекается ближайший к точке узел). Поступая также как и в случае вывода 1-й формулы Гаусса, учитывая формулу (2.49), замечание 2.1, а также введя переменную , из формулы Ньютона для неравноотстоящих узлов

получим 2-ю формулу Гаусса (для интерполирования назад):

(2.61)

Остаточный член для 2-ой формулы Гаусса четной степени имеет вид (2.59), а для многочлена нечетной степени будет следующим:

(2.62)

2.12.4. Формулы Стирлинга и Бесселя

Известно, что уменьшение степени аппроксимирующего многочлена без потери точности иногда можно достигнуть, образуя линейные комбинации интерполяционных многочленов. Простейшим из таких многочленов является многочлен Стирлинга. Этот многочлен является полусуммой 1-ой и 2-ой формул Гаусса:

(2.63)

Учитывая выражения для формул Гаусса (2.58), (2.61), а также то, что многочлены Стирлинга рекомендуется использовать для нечетной степени относительно , получим следующее выражение:

(2.64)

Многочлен (2.64) называется формулой Стирлинга, ее используют для аппроксимации в середине таблицы при Остаточный член для формулы Стирлинга равен полусумме остаточных членов (2.60), (2.62).

Многочлен Бесселя также используется для аппроксимации в середине таблицы. Эта формула определяется из соотношения:

(2.65)

где , , т.е. Учитывая выражения для формул Гаусса (2.58), (2.61), а также то, что многочлены Бесселя рекомендуется использовать для четной степени относительно , в силу формулы (2.65) получим следующее выражение

(2.66)

Многочлен (2.66) называется формулой Бесселя, его используют для аппроксимации в середине таблицы при .

Остаточный член для формулы Бесселя равен полусумме остаточных членов соответствующих формул Гаусса и имеет вид:

(2.67)