Федеральное агентство по образованию РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.И.Смагин, Г.Н.Решетникова

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

аппроксимация, дифференцирование

и интегрирование

Учебное пособие

Томск

2007

УДК 519.6

ББК 22.19

В31

Авторы:

Смагин Валерий Иванович – профессор кафедры прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, доктор технических наук.

Решетникова Галина Николаевна – доцент кафедры прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, кандидат технических наук.

Смагин в.И., Решетникова г.Н.

     Численные методы (аппроксимация, дифференцирование и интегрирование). Учебное пособие. – Томск: Томский государственный университет, 2007. – 203 с.

     В учебном пособии рассматриваются основы теории погрешностей, вопросы приближения функций, изучаются алгоритмы численного дифференцирования и интегрирования. Приводятся контрольные вопросы и задания.

      Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Математические методы в экономике» и «Прикладная математика и информатика».

Рецензенты:

Н.С. Дёмин, доктор физико-математических наук, профессор

Г.М. Кошкин, доктор физико-математических наук, профессор

Томский государственный университет, 2007

Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ 6

ВВЕДЕНИЕ 7

1. Основы теории погрешностей 9

1.1. Математические оценки точности приближенного числа 9

1.2. Запись чисел на ЭВМ 9

1.3. Верные знаки приближенного числа 10

1.4. Классификация погрешностей 11

1.5. Погрешность вычисления функции многих переменных 12

1.6. Обратная задача теории погрешностей 14

1.7. Погрешности простейших функций 15

1.8. Контрольные вопросы 17

1.9. Задания к главе 1 18

2. Аппроксимация функций 19

2.1. Постановка задачи 19

2.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 21

2.3. Интерполяционная схема Эйткена 25

2.4. Остаточный член многочлена Лагранжа 28

2.5. Разделенные разности и их свойства 31

2.6. Интерполяционная формула Ньютона при неравноотстоящих узлах 33

2.7. Многочлены Чебышева и их свойства 36

2.8. Минимизация погрешности метода при аппроксимации многочленом Лагранжа 39

2.9. Многочлены наилучшего равномерного приближения 41

2.10. Экономизация степенных рядов 44

2.11. Интерполирование с кратными узлами 46

2.12. Интерполирование при равноотстоящих узлах 47

2.12.1. Конечные разности 47

2.12.2. Интерполирование в начале и конце таблицы 49

2.12.3. Формулы Гаусса 50

2.12.4. Формулы Стирлинга и Бесселя 52

2.12.5. Оценки погрешности метода и неустранимой погрешности 54

2.13. Сплайн-функции 57

2.13.1. Линейный сплайн 57

2.13.2. Параболический сплайн 59

2.13.3. Кубический сплайн 62

2.13.4. В-сплайны 66

2.13.5. Эрмитовы сплайны 71

2.14. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов (МНК) 73

2.14.1. Аппроксимация алгебраическими полиномами 76

2.14.2. Аппроксимация ортогональными полиномами 78

2.14.3. Аппроксимация ортогональными полиномами дискретной переменной 80

2.15. Аппроксимация функций многих переменных 82

2.15.1. Построение интерполяционных многочленов 83

2.15.2.Метод последовательного интерполирования 85

2.15.3. Применение метода наименьших квадратов 87

2.16. Контрольные вопросы 90

2.17. Задания к главе 2 92

3. Численное дифференцирование 95

3.1. Численное дифференцирование при неравноотстоящих узлах 96

3.2. Численное дифференцирование при равноотстоящих узлах 100

3.3. Оценка приближений численного дифференцирования по правилу Рунге 107

3.4. Метод квадратурных формул 109