4. Розв’язання системи рівнянь, за якою обчислюється рух твердої частки в турбулентному потоці.
Знаходження траєкторії руху твердих часток в потоці може бути корисним з наступних причин: по-перше, в умовах занесення верхніх б’єфів, проектуванні та розрахунках наносорегулюючих пристроїв при водозаборі, необхідно знати переважні напрямки руху твердих часток. По-друге, при розмиві і переформуванні русла необхідно знати зони переважного відриву часток та зони їх приземлення, пов’язаного зі збільшенням позначок дна. Питаннями перенесенням часток в турбулентному потоці займалися вітчизняні та зарубіжні вченні на протязі останніх десятиріч. При цьому було сформовано кілька наукових напрямків при вивченні цього руху. Основні напрямки – це, по-перше, дослідження динаміки континуума (суцільного середовища, яке складається з рідини та наносів), при цьому розраховуються середні параметри потоку рідини та твердих часток в ньому. По-друге, це підхід, який передбачає розрахунок руху окремих часток в потоці рідини. Саме такий підхід ми пропонуємо в даній роботі. Поле швидкостей самої рідини ми вважаємо заданим і незмінним в часі. Таке припущення обґрунтовується тим, що концентрації часток наносів при роботі водозабірних споруд не є настільки великими, що вони можуть суттєво вплинути на поле швидкостей потоку. При русі часток, на них діють стаціонарні та змінні в часі сили. До першої категорії ми відносимо власну вагу, та архімедову силу. Змінними в часі є сили гідродинамічного опору, компоненти якої залежать від квадрата відносної швидкості ковзання частки у рідині; сили Магнуса та Саффмена пов’язані з обертанням частки та градієнтом швидкостей в придонному шарі. Випадковий характер також мають сили взаємодії між частками та з частками з границею потоку. Останні серед зазначених сил враховуються нами за допомогою генератора випадкових чисел та спеціальних підпрограма, які надають їм відповідні статистичні властивості (середнє значення, дисперсія, характер розподілу, як правило, він буває нормальним).
Скінченно різницевий аналог системи (17) виглядає наступним чином:
де маса обчислюється так:
де
і
є константи густини води.
При розрахунках за наведеними формулами враховуються граничні умови, зазначені в п. 3.
Розрахунок руху твердих часток у циркуляційному потоці
Для розрахунків складено програму в MS Exel. Вхідні дані вводяться до таблиці 2. Виконання дій пов’язаних з інтегруванням описаних вище систем диференціальних рівнянь ілюструється в таблиці 3, 4 та на графіках.
Таблиця 2
|
dt=0.01; d=0.001; U=1; T0=5; G=0.0000089; |
||||
|
ro0=1000; ro1=2650; Cd=1170; Rad=0.05; U0=1; V0=0; |
||||
|
|
|
|
|
|
Dt |
0,02 |
|
R |
0,005 |
m |
D |
0,01 |
|
m |
0,001388 |
kg |
U |
1 |
|
mp |
0,000262 |
kg |
Ro 0 |
1000 |
|
M=m+mp |
0,001649 |
kg |
Ro p |
2650 |
|
S |
7,85E-05 |
m^2 |
C d |
1,17 |
|
W |
5,24E-07 |
m^3 |
t |
U |
Up i |
DU (u-p) |
DU^2 |
Sign |
DU^2*Sign |
Ro*()*Cd/M |
Up i+1 |
Up i+1/2 |
Xp |
DXp |
DDXp |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
1,2 |
-0,2 |
0,04 |
-1 |
-0,04 |
-0,044571 |
1,155429 |
1,177714 |
0,023554 |
0,023554 |
|
0,02 |
1 |
1,155428571 |
-0,155429 |
0,024158041 |
-1 |
-0,024158 |
-0,026919 |
1,12851 |
1,141969 |
0,046394 |
0,022839 |
-0,000714904 |
0,04 |
1 |
1,128509612 |
-0,12851 |
0,01651472 |
-1 |
-0,016515 |
-0,018402 |
1,110107 |
1,119309 |
0,06878 |
0,022386 |
-0,000453211 |
0,06 |
1 |
1,110107495 |
-0,110107 |
0,01212366 |
-1 |
-0,012124 |
-0,013509 |
1,096598 |
1,103353 |
0,090847 |
0,022067 |
-0,000319113 |
0,08 |
1 |
1,096598273 |
-0,096598 |
0,009331226 |
-1 |
-0,009331 |
-0,010398 |
1,086201 |
1,091399 |
0,112675 |
0,021828 |
-0,000239069 |
0,1 |
1 |
1,086200621 |
-0,086201 |
0,007430547 |
-1 |
-0,007431 |
-0,00828 |
1,077921 |
1,082061 |
0,134316 |
0,021641 |
-0,000186774 |
0,12 |
1 |
1,077920868 |
-0,077921 |
0,006071662 |
-1 |
-0,006072 |
-0,006766 |
1,071155 |
1,074538 |
0,155807 |
0,021491 |
-0,000150453 |
0,14 |
1 |
1,071155303 |
-0,071155 |
0,005063077 |
-1 |
-0,005063 |
-0,005642 |
1,065514 |
1,068334 |
0,177174 |
0,021367 |
-0,000124073 |
0,16 |
1 |
1,065513588 |
-0,065514 |
0,00429203 |
-1 |
-0,004292 |
-0,004783 |
1,060731 |
1,063122 |
0,198436 |
0,021262 |
-0,000104243 |
0,18 |
1 |
1,06073104 |
-0,060731 |
0,003688259 |
-1 |
-0,003688 |
-0,00411 |
1,056621 |
1,058676 |
0,21961 |
0,021174 |
-8,89232E-05 |
0,2 |
1 |
1,056621266 |
-0,056621 |
0,003205968 |
-1 |
-0,003206 |
-0,003572 |
1,053049 |
1,054835 |
0,240706 |
0,021097 |
-7,68214E-05 |
0,22 |
1 |
1,053048902 |
-0,053049 |
0,002814186 |
-1 |
-0,002814 |
-0,003136 |
1,049913 |
1,051481 |
0,261736 |
0,02103 |
-6,70817E-05 |
0,24 |
1 |
1,049913094 |
-0,049913 |
0,002491317 |
-1 |
-0,002491 |
-0,002776 |
1,047137 |
1,048525 |
0,282706 |
0,020971 |
-5,91185E-05 |
0,26 |
1 |
1,047137055 |
-0,047137 |
0,002221902 |
-1 |
-0,002222 |
-0,002476 |
1,044661 |
1,045899 |
0,303624 |
0,020918 |
-5,25187E-05 |
0,28 |
1 |
1,044661222 |
-0,044661 |
0,001994625 |
-1 |
-0,001995 |
-0,002223 |
1,042439 |
1,04355 |
0,324495 |
0,020871 |
-4,69842E-05 |
0,3 |
1 |
1,04243864 |
-0,042439 |
0,001801038 |
-1 |
-0,001801 |
-0,002007 |
1,040432 |
1,041435 |
0,345324 |
0,020829 |
-4,22945E-05 |
Таблиця 3
Рис.4. Графік руху частки в поздовжньому напрямку
Рис.5. Осереднене відхилення групи часток в поперечному напрямку зумовлено циркуляцією.