Математична модель руху часток у потоці.
Для обрахунку траєкторії руху часточки достатньо розв’язати систему трьох(по осях X, Y, Z) рівнянь, які є наслідком другого закону Ньютона:
(15)
де U,V,W – швидкості по осях X,Y,Z (генеруються генератором) ;
СD – коефіцієнт обтікання;
-
Архімедова виштовхувальна сила;
-
сила Магнуса;
-
сила Саффмена.
Для розв’язку зазначеної системи нами проводиться зниження її порядку. Переходячи від невідомих координат частки до їх швидкостей ми знижуємо порядок системи на одиницю. Ця система виглядає наступним чином
(16)
Внаслідок зменшення порядку системи появляється необхідність інтегрувати ще одну систему, яка складається з трьох наступних диференціальних рівнянь першого порядку.
(17)
Зазначенні диференціальні рівняння інтегруються при наступних початкових умовах: при визначенні швидкостей часток, початковими умовами будуть:
,
при визначенні координат часток:
3. Поздовжні та поперечні швидкості течії на повороті турбулентного потоку для випадку гладкого дна.
Аналіз гідравлічної структури потоку на повороті був проведений
І. Л. Розовським [1]. Він виходив із умови рівноваги окремих шарів рідини, яка рухається, легко знайти закон розподілу напружень тертя по вертикалі
,
(18)
де
– напруження тертя біля дна,
де
- об’ємна вага води;
-
глибина рівномірного потоку;
I – ухил;
-
безрозмірна вертикальна координата.
З
іншого боку, для плоского рівномірного
турбулентного потоку, де
,
залежність приймає простий вид:
,
(19)
Звідси
отримуємо формулу для визначення
коефіцієнта
,
(20)
тут
– коефіцієнт Шезі;
– середня
швидкість по вертикалі.
З формули (20) видно, що визначення коефіцієнта турбулентної в’язкості пов’язано із знаходженням похідної функції розподілу швидкостей по вертикалі, що не завжди може бути виконано з достатньою точністю; особливо неточним є графічне диференціювання. Звідси і виникають наявні в літературі суперечливі вказівки про характер розподілу коефіцієнта по вертикалі.
Поняття коефіцієнта турбулентної в’язкості першим ввів в гідравліку І. Буссінеск. Він і Х. Базен запропонували розподіл швидкостей по вертикалі приймати по закону квадратичної параболи
,
(21)
де
– швидкість на поверхні.
Вираз
(21) має назву парабола
Буссінеска – Базена.
Параметр
,
який має розмірність
,
по даним Буссінеска і Базена, змінюється
в межах 22 ÷ 24.
Якщо уклон виразити за допомогою формули Шезі
,
(22)
то рівняння (21) приймає вид
,
(23)
Знайдемо залежність між максимальною та середньою швидкостями
.
Звідси
,
(24)
і формула (23) приймає вид
,
(25)
Знайдемо тепер градієнт швидкостей по вертикалі
.
Підставляючи в формулу (21), отримуємо
(26)
Таким чином, розподілу швидкостей по вертикалі згідно із параболічним законом Буссінеска – Базена відповідає постійне по вертикалі значення коефіцієнта турбулентної в’язкості , яке залежить від середньої швидкості, глибини та коефіцієнта Шезі .
Кінематичний коефіцієнт турбулентної в’язкості визначиться із формули
(27)
Можна також ввести поняття числа Рейнольдса для турбулентного руху
.
(28)
Для випадку, що розглядається
.
(29)
Таким чином, "турбулентне число Рейнольдса" в даному випадку залежить тільки від коефіцієнта Шезі .
На основі статистичної обробки великої кількості епюр швидкостей в ріках та лабораторних лотоках А.В. Караушев запропонував залежність для розподілу швидкостей по вертикалі по еліпсу
.
(30)
Параметр
для області
автор рекомендує визначати за формулою
;
(31)
Пропускаючи ряд проміжних викладок наведемо результати І.Л.Розовського[1].
Розподіл поздовжніх осереднених швидкостей на вертикалі визначається наступною формулою
,
(32)
де в ліву частину входить "недостача швидкості".
Де
- середнє значення параметра логарифмічної
формули для течії на повороті.
Формула
(30) або (32), виражена через "недостачу
швидкості", згідно з ідеєю її автора,
однаково застосована до течії в потоках
як з гладкими, так і з шорсткими поверхнями.
Для швидкості
,
якщо прийняти до уваги формули (18) і
(22), легко знайти вираз
.
(33)
Тоді рівняння (33) прийме вигляд
.
(34)
Знайдемо залежність між максимальною та середньою швидкостями
,
звідси
,
(35)
і рівняння (33) прийме вигляд
.
(36)
Приймаючи, що поворот потоку відбувається по плавній кривій, радіус кривизни якої значно більший глибини потоку, І.Л.Розовський провів наступні виведення. Основне рівняння руху потоку на повороті – це рівняння поздовжньої рівноваги потоку, яке виглядає наступним чином
(37)
де
- поперечний ухил.
Спрощуючи зазначене рівняння І.Л.Розовський прийшов до вигляду
.
(38)
Підставляючи
,
отримаємо
.
(39)
Після
інтегрування даного рівняння по
,
отримаємо
.
Підставляємо
сюди значення
з формули (29) і інтегруємо
. (40)
Ліва частина рівняння (40) є радіальною складовою напруження тертя
.
(41)
Розглядаючи випадок, коли між швидкістю водного і граничного з ним повітряного потоку немає великої різниці (відсутність сильного вітру), ми повинні вважати тертя на вільній поверхні рівним нулю:
.
(42)
З цієї граничної умови можна знайти сталу інтегрування
.
Підставляючи
в рівність (40) значення константи і
значення коефіцієнта турбулентної
в’язкості
із (36) та розв’язуючи рівняння відносно
похідної, І.Л. Розовський отримав
.
Проінтегруємо отримане рівняння:
.
(43)
Введемо позначення:
;
(44)
.
(45)
Взявши
також перший інтеграл лівої частини
рівняння (43) з врахуванням, що
отримаємо
.
(46)
Для
визначення значення поперечного уклону
поверхні води
використаємо рівняння (0,1), яке являє
собою залежність поперечного уклону
від середньої швидкості потоку
,
радіуса заокруглення
та напруження тертя біля дна
.
Таким чином, можна зробити висновок, що
.
Для
наближеного визначення величини
розглянемо спочатку випадок гладкого
дна. Як відомо, в верхній частині потоку
радіальні складові швидкості спрямовані
від центру, а в нижній – до центру
повороту. Так як безпосередньо біля
самого дна (якщо брати до уваги і
ламінарний шар) швидкість і всі її
складові рівні нулю, то профіль швидкостей
по вертикалі повинен мати характер,
показаний на рис. 2. При цьому повинна
існувати така точка
,
для якої
,
а отже, і
.
Нехай відстань до даної точки від дна
рівна
.
Напишемо умову рівноваги стовпчика
висотою
.
(47)
Звідси
.
Отже,
.
(48)
Рис.2.
Гранична умова для швидкості
біля гладкого дна русла.
Таким
чином, знаючи значення
,
можна оцінити напруження тертя
.
На основі виконаних дослідниками
дослідів можна стверджувати, що для
гладких стінок
– досить незначна величина. В більшості
випадків неможливо знайти помітного
зменшення швидкостей
по мірі наближення до дна.
Отже,
при знаходженні поперечного уклону у
випадку гладких стінок можна знехтувати
впливом
та прийняти наближене значення
.
При цьому ми допускаємо похибку, яка не
перевищує
.
Коефіцієнт
можна знайти з рівності
.
(49)
Рис.3.
Графіки функцій
,
і
Підставляючи
сюди значення
із формули (35) та виконуючи відповідні
перетворення, отримуємо
.
(50)
Підставляючи цей результат в (46), після простих перетворень отримуємо
.
Введемо позначення
;
.
Тоді рівняння приймає вигляд
.
(51)
Враховуючи формули (44) і (45), можна для і отримати прості вирази:
;
.
(52)
Графіки для знаходження функцій і подано на рис.3.
На
основі лабораторних дослідів можна в
відомих межах приймати середнє значення
параметра логарифмічної формули для
течії на повороті
.
Тоді формула (51) приймає вигляд
.
(53)
Формули
(49) і (51) отримані автором, дають добру
збіжність з даними лабораторних і
натурних досліджень. Форма кривої
розподілу швидкостей
за рівнянням (53) при
і 30 показана на рис.3.
Додаткові графіки можна взяти з книги І.Л.Розовського [1].