§3. Знакозмінні числові ряди.

Теоретичні питання

1. Абсолютна та умовна збіжність числового ряду. Зв'язок між цими поняттями.

2. Основні властивості абсолютно збіжних рядів: лінійність, ас0ціативність суми, теорема про перестановку елементів абсолютно збіжного ряду.

3. Ознаки порівняння для абсолютно збіжних рядів.

4. Ознаки Даламбера та Коші абсолютної збіжності.

5. Теорема про множення абсолютно збіжних рядів.

6. Ознака Лейбніца. Наслідок: оцінка залишку знакозмінного ряду.

7. Ознака Діріхле збіжності загального числового ряду.

8. Ознака Абеля збіжності загального числового ряду.

9. Теорема Рімана про перестановку членів умовно збіжного числового ряду.

Розв’язання типових задач

Приклад 1. Дослідити на абсолютну чи умовну збіжність ряди:

а)

б)

Розв’язання. а) Розглянемо ряд із модулів членів даного ряду:

.

Маємо очевидну нерівність

.

Оскільки ряд збігається , то даний рід збігається абсолютно за першою ознакою порівняння.

б) Розглянемо ряд із модулів: . Для справедлива нерівність . При , тобто вірно. Припустимо вірно при і доведемо при . Маємо . Оскільки при , то . Отже , і нерівність доведена по індукції для . Звідки , ряд розбіжний, тому - розбіжний ряд. Однак і при . Отже за ознакою Лейбніца ряд збігається. Оскільки ряд із модулів розбіжний, то даний ряд збігається умовно.

Приклад 2. Скільки членів ряду слід взяти, щоб обчислити його суму з точністю до .

Розв’язання. Даний ряд знакозмінний , тому для його залишку порядку справедлива оцінка

.

Щоб обчислити суму ряду з точністю до , знайдемо мінімальне таке, що , або , тобто . Отже . Виконавши обчислення до трьох знаків після коми та округливши, маємо .

Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Скористаємося ознакою Діріхле збіжності, прийнявши , . Часткову суму обчислимо, помноживши обидві частини рівності на і перетворивши добутки синусів на суму. Маємо:

.

Очевидно Звідки для довільного . Очевидно далі, що для вірно і Отже, послідовність монотонно прямує до нуля. Значить даний ряд збігається за ознакою Діріхле.

Приклад 4. Довести, що ряд збігається умовно.

Розв’язання. Збіжність ряду доведена в попередньому прикладі. Розглянемо ряд із модулів . Маємо , звідки . Зауважимо, що ряд розбіжний, оскільки ряд розбіжний, а ряд збіжний за ознакою Діріхле (що встановлюється аналогічно прикладу 3). За ознакою порівняння ряд розбіжний, значить збігається умовно.

Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Скористаємось ознакою Абеля збіжності, прийнявши , . Доведемо, що послідовність монотонна і обмежена. Маємо . Розглянемо функцію . Її похідна при . Отже послідовність монотонно спадає при і обмежена зверху, оскільки . Ряд збіжний що доведено в прикладі 1. Отже за ознакою Абеля даний ряд збігається.

Індивідуальні завдання.

Завдання 4. Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряди:

1.	а)	б)
2.	а)	б)
3.	а)	б)
4.	а)	б)
5.	а)	б)
6.	а)	б)
7.	а)	б)
8.	а)	б)
9.	а)	б)
10.	а)	б)
11.	а)	б)
12.	а)	б)
13.	а)	б)
14.	а)	б)
15.	а)	б)
16.	а)	б)
17.	а)	б)
18.	а)	б)
19.	а)	б)
20.	а)	б)
21.	а)	б)
22.	а)	б)
23.	а)	б)
24.	а)	б)
25.	а)	б)
26.	а)	б)
27.	а)	б)
28.	а)	б)
29.	а)	б)
30.	а)	б)

Завдання 5. Обчислити суму ряду з точністю до :

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Завдання 6. Дослідити на збіжність ряди за ознаками Абеля чи Діріхле. Чи збігаються ряди абсолютно?

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.