§2. Ряди з невід’ємних чисел.
Теоретичні питання
Критерій збіжності ряду з невід’ємних чисел.
Перша ознака порівняння.
Друга ознака порівняння.
Ознаки Д’Аламбера.
Радикальна ознака Коші. Порівняння її з ознакою Д’Аламбера.
Інтегральна ознака збіжності.
Ознака Раабе.
Ознака Гаусса.
Розв’язання типових задач
Приклад 1. Використавши ознаки порівняння, дослідити на збіжність ряди:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
Розв’язання.
а) Порівняємо загальний член даного
ряду з загальним членом геометричного
ряду:
б)
Скористаємось
другою ознакою порівняння. Нехай
Ряд
в)
Неважко переконатися, що
Ряд
г)
Скористаємось еквівалентністю
Ряд
д)
Відомо, що
Тоді
Ряд
Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд: а)
Розв’язання.
а) Застосуємо ознаку Д’Аламбера. Маємо
Отже, ряд збіжний. б)
Застосуємо радикальну ознаку Коші.
Маємо
Обчислимо
Тому
Отже, заданий ряд збіжний. Приклад 4. Дослідити на збіжність ряди: а)
Розв’язання.
а) Порівняємо даний ряд з рядом
Оскільки
границя відношення
Отже,
ряд
б)
Аналогічно, даний ряд порівняємо з
рядом
|
|
то звідси випливає збіжність вихідного ряду.
Приклад
4.
Дослідити на збіжність ряд
Розв’язання.
За формулою Стірлінга
|
|
,
,
,
,
.
.
Отже, даний ряд мажорується збіжним
геометричним рядом
,
тому він збігається за першою ознакою
порівняння.
Обчислимо
(ми скористались тим, що показникова
функція зростає швидше степеневої,
тому
).
Отже, ряди
і
ведуть
себе однаково.
- гармонічний ряд зі знаменником
,
тому збігається, а значить збігається
ряд
.
,
при
.
– розбіжний, тому розбіжний і заданий
ряд.
.
Тому
.
є узагальненим гармонічним рядом з
показником
,
тому збігається. Отже, даний ряд теж
збігається.
,
однак ця нерівність нічого не дає,
оскільки з нерівності
ніякого висновку зробити не можна.
Представимо загальний член ряду у
вигляді
.
,
оскільки степенева функція з додатним
показником зростає швидше логарифмічної.
Тому, починаючи з деякого
маємо
,
отже,
.
збіжний (оскільки
),
тому ряд
теж збіжний.
б)
Границя відношення
,
тоді
,
оскільки
.
.
б)
,
то даний ряд поводить себе так само,
як
Дослідимо останній ряд за допомогою
інтегральної ознаки, при
.
Обчислимо
.
– розбіжний, а тому, ряд
теж розбіжний.
який поводить себе так само, як і
початковий ряд. Оскільки
,
при різних значеннях параметра
.
.
Отже, заданий ряд слід порівняти з
рядом
.
Ряд
збігається при
і розбігається при
.
Отже, ряд
збігається при
і розбігається при
.
Приклад
6.
Дослідити на збіжність ряд
,
де
,
.
Розв’язання. Маємо:
Згідно
ознаки Гаусса, якщо
,
при деякому
ряд збіжний при
і розбіжний при
.
Отже,
при
,
тобто при
,
ряд збігається, при
,
тобто при
ряд розбігається.
Індивідуальні завдання
Завдання 3. Використовуючи ознаки збіжності рядів із невід’ємних чисел, дослідити на збіжність ряди:
1. |
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
|
2. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
3. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
4. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
5. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
6. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
7. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
8. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д) |
е)
|
9. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
10. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
11. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
12. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
13. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
14. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
15. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
16. |
a)
|
б)
|
|
в)
|
г) |
|
д)
|
е)
|
17. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
18. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
19. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
21. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
22. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
23. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
24. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
25. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д) |
е)
|
26. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
27. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
28. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е)
|
29. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е) |
30. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
|
д)
|
е) |
