Геометрический смысл линейной зависимости векторов для геометрических векторов на плоскости и в пространстве.

a 1= λa2 – векторы находятся на параллельных прямых или на одной прямой. Такие векторы называются коллинеарными.

В случае пространства линейная зависимость 3 векторов означает, что они параллельны одной плоскости (находятся в 1 плоскости).

λ1a1+λ2a2=λ3a3

Достаточно “подправить» соответствующими сомножителями длины векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них.

A1=-λ2/λ1a2+λ3/λ1a3

Компланарные вектора- вектора, лежащие в одной плоскости.

Чтобы три вектора были линейно зависимыми, они должны являться компланарными.

Базис системы векторов в пространстве Rn

Рассмотрим систему векторов a1, a2, … ak . максимально независимой подсистемой данной системы векторов называется частичный набор векторов из нее, удовлетворяющий двум условиям: 1) векторы этого набора линейно независимые, 2) любой вектор системы выражается через векторы этого набора. Справедлива теорема, утверждающая что все максимально независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же количество векторов. Максимально независимая подсистема системы векторов называется ее базисом. Количество векторов, входящих в базис, называется рангом этой системы. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа К ее векторов, то она может иметь несколько базисов.

Пример: пусть система векторов состоит из трех двумерных векторов:

A1=( ) a2=( ) A3=( )

В тетради v1

Найдем базисы системы векторов. Рассмотрим все подсистемы, состоящие из двух векторов.

Тетрадь

Базис состоит из двух векторов, значит ранг равен 2.

Разложение вектора по базису

Пусть система векторов а1, а2,…, am является базисом. Пусть b = λ₁a1+ λ 2a2+…+ λ _ma_m–их линейная комбинация.

Имеет место следующая теорема: разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным.

Предположим, что вектор b может быть представлен в виде линейной комбинации векторов двумя способами: пусть b = λ₁ ^I a₁+ λ ₂ ^I a₂+… , где наборы чисел λ₁ ^I и λ₁ ,среди которых обязательно есть ненулевые значения, и они не совпадают. B-b = (λ₁ - λ₁ ^I)a1+…. + (λ_m- λ_m ^I)a_m=0.

Мы получили, что линейная комбинация базисных векторов линейно зависима, т.к. коэффициенты (λ_i- λ_i ^I ) i=1…m не все равны 0, но это противоречит условию, что a₁- a_m- базис.

Тетрадь3

Понятие базиса распространяется и на все пространство Rⁿ, которое является системой, содержащей всю бесконечную совокупность n-мерных векторов.

Система векторов называется базисом пространства Rn, если 1) векторы этой системы линейно независимы, 2) всякий вектор из Rn линейно выражается через векторы данной системы.

Справедлива основная теорема о базисе пространства Rⁿ: линейно независимая система векторов в Rn является базисом тогда и только тогда, когда число векторов этой системы равно n. Пусть a1-an – произвольный базис пространства Rⁿ, тогда произвольный вектор b, который принадлежит пространству, можно разложить единственным образом по этому базису, т.е b=αa1+ α2a2+…+ α_na_n. В наборе коэффициентов разложения α1- αn числа αi называются координатами вектора b в базисе a1-an.

E1=(1.0…0), e2=(0.1.0…0), en=(0.0.0….1)

Нужно доказать, что система линейно независима. λ1e1+λ2e2+…+λnen=0.

Λ1(10…0)+ λ2…..

Λ1+0+..+0=0

0+ λ2+0+..+0=0

0+0+…+λn=0

Все лямбды равны 0

B=(b1.b2….bn)

B=b1e1+b2e2+…+b_ne_n

b€R_n

решение задачи:

пусть задан базис пространства Rⁿ –a1-an, b=αa1+ α2a2+…+ α_na_n

a1=(a11 a12 … a1n) a2=(a21 a22… a2n) … Ak=(aki ak2… akn) … An=(an1 an2… ann)

B=(b1 b2 … bn)

α1(a11a12… a1n)+ α2(a21a22.. a2n)+… +αn(an1 an2… ann)=(b1b2…bn)

α1a11+α2a21+… +αkak1+… +αnan1=b1

α1a12+α2a22+…+αkak2+… +αnan2=b2

…

α1a1n+α2a2n+…+αkakn+…αnann=bn

Таким образом, определение коэффициентов разложения по базису приводит к решению системы линейных уравнений. При нахождении координат вектора в базисе пространства Rn, система будет включать n линейных уравнений с n неизвестными. Пусть система векторов включает К векторов базиса a1-ak, вектора являются m-мерными. A1=(a11 a12 … a1m), ak=(ak1 ak2 … akn), чтобы разложить вектор b=(b1 b2… bm) нужно решить систему m уравнений с k неизвестными.

α 1a11+α2a21+… +αkak1+… +αnan1=b1

α1a12+α2a22+…+αkak2+… +αnan2=b2

…

α1a1m+α2a2m+…+α2a2m+…αkakm=bm

15.11.12

Иногда вместо решения системы уравнений удобнее воспользоваться теоремами.

Теорема1. Если L n-мерных векторов, содержащихся среди данных m n-мерных векторов, линейно зависимы, то все m n-мерных векторов линейно зависимы.

Теорема2. В n-мерном пространстве Rⁿ любая система, содержащая более n векторов, линейно зависима.

Теорема3. Если определитель, составленный из координат векторов, отличен от 0, то система векторов линейно зависима.

Пример1

A1= a2= =

= 6+3+3-2-9-3<>0 , a1,a2,a3-линейно независимые, т.к. определитель отличен от 0.

Пример2

A1=(5.2.1)

A2=(-1.3.3)

A3=(9.7.5)

A4=(3.8.7)

Система линейно зависима, т.к. векторов больше, чем размерность .

решение примеров в тетради