Оглавление
08,11,2011скалярное произведение n-мерных векторов. 1
Геометрический смысл линейной зависимости векторов для геометрических векторов на плоскости и в пространстве. 2
Базис системы векторов в пространстве Rn 3
Разложение вектора по базису 3
15.11.12 5
Разложение вектора в ортогональном базисе. 6
Разложение вектора по ортонормированному базису в геометрическом пространстве. 7
16.11.12 Ортогонализация системы векторов 9
08,11,2011Скалярное произведение n-мерных векторов.
скалярное произведение n-мерных векторов
Тетрадь
В дальнейшем предполагаем, что каждый товар имеет цену. Все цены предполагаются строго положительными. Обозначим Pi -цена единицы i-го товара, тогда P – вектор цен. (pi>0).
Тогда возьмем их скалярное произведение: (p,x)=p1x1+p2x2+…pnxn. Это можно назвать ценой набора или его стоимостью.
понятие в векторном пространстве Rn Можно ввести модуля (длины) n-мерного вектора и угла между двумя n-мерными векторами как обобщение этих понятий для трехмерных геометрических векторов, а именно: длина вектора| a|=SQR(a,a) = sqr(a12+a22+…)
cos ϕ = (a,b)/|a|*|b|. Условие: |cos ϕ|<=1
(a,b)<=|a||b| - проверить, выполняется ли условие.
(a,b)2<=|a|2|b|2
(a1,b1+a2b2+…anbn)2<=(a12+…+an2)(b12…bn2) – неравенство Коши-Буняковского
Введем одно важное свойство векторов: векторы будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. Это условие является аналогом условия перпендикулярности геометрических вектором, т.к. cos ϕ =0.
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. При решении различных задач как правило приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной и той же размерности, такие совокупности называются системой векторов. Пусть задана система векторов a1,a2…ak .Линейной комбинацией этих векторов называется вектор вида: b=λ1*a1+…+ λk*ak – линейная комбинация векторов. Например, пусть даны 3 вектора: a1=(1.2.0.4), a2=(3.1.0.2), a3=(-1.1.-2.0), λ1=2, λ2=3, λ3=-1. B=2*(1.2.0.4)+3*(3.1.0.2)-(-1.1.-2.0)=
=(2+9+1.4+3-1.0+0+2.8+6-0)=(12.6.2.14)
В случае равенства b=λ1*a1+…+ λk*ak говорят также, что вектор b линейно выражается через векторы a1,a2,…ak или разлагается по этим векторам. Числа λ1-λk называются коэффициентами этого разложения.
Система ненулевых векторов a1,a2…ak называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1-λk, неравные 0 одновременно, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору, т.е. λ1*a1+…+ λk*ak=0. Если же это равенство для данной системы векторов возможно лишь при λ1= λ2=… =0, то эта система векторов называется линейно независимой.
Пример линейно независимой системы векторов. A1=(2.0.0.0). a2=(0.0.8.0), a3=(0.0.0.-5)
λ1(2.0.0.0)+ λ2(0.0.8.0)+ λ3(0.0.0.-5)=(0.0.0.0).
(2 *λ1.0.8*λ2.-5* λ3)=(0 0 0 0)
2
λ1=0
8 λ2=0
-5 λ3=0 => λ1= λ2= λ3=0
Пример линейно зависимой системы.
B1=(1.2.1), b2=(2.4..2)
λ1b1+ λ2b2=0
λ1(1.2.1)|+ λ2(2.4.2)=(0 0 0)
λ
1+2
λ2=0
2λ1+4 λ2=0
λ1+2 λ2=0
-2b1+b2=0
Существуют такие λ, отличные от нуля и их бесконечно много, система линейно зависимая.
Пусть система векторов a1,a2…ak линейно зависима, рассмотрим равенства:
λ1*a1+…+ λk*ak=0 . т.к. система линейно зависима, то существует слагаемое, в котором коэффициент λs<>0.
λ s*as= -λ1*a1-…- λs-1as-1-… - λkak.
as=(-λ1*a1-…- λs-1as-1-… - λkak.)/ λs
в этом случае один из векторов линейно зависимой системы оказался выраженным через другие вектора этой системы (или разлагается по остальным ее векторам).отсюда следует следующее свойство линейно зависимой системы векторов: система, содержащая более 1 вектора, линейно зависима IFF, когда среди ее векторов содержится по крайней мере один вектор, который линейно выражается через все остальные.