Зачет по теме: «Системы уравнений и неравенств»

1. Линейные и квадратные неравенства

Опр: Линейным неравенством с одной переменной х называют неравенство вида ах + b> 0 (вместо знака > может быть, любой другой знак неравенства), где а и b — действительные числа (а ≠ 0).

Опр: Квадратным неравенством с одной переменной х называют неравенство вида ах² + bх + с> 0, где а, b, с — действительные числа (кроме а = 0).

Опр: Значение переменной х, которое обращает неравенство f(x) > О в верное числовое неравенство, называют решением неравенства (или частным решением). Множество всех частных решений неравенства называют общим решением (или просто решением) неравенства.

Опр: Два неравенства f(x) < g(x) и r(х) < s(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (в частности, если оба неравенства не имеют решений).

Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства. Эти преобразования указаны в сформулированных ниже правилах 1—3.

Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знака неравенства.

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знака неравенства.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный (< на >, < на >).

Утверждение 1. Если D < 0, а > 0, то неравенство ах² + bх + с > 0 выполняется при всех х;

а неравенство ах² + bх + с < 0 в этом случае не имеет решений.

Утверждение 2. Если D < 0, а < 0, то неравенство ах² + bх + + с < О выполняется при всех х,

а неравенство ах² + bх + с > 0 в этом случае не имеет решений.

Теорема: Если квадратный трехчлен ах² + bх + с имеет  отрицательный дискриминант, то при любом х значение трехчлена имеет знак старшего коэффициента а.

Способы решения квадратных неравенств.

1. С помощью графика функции.

1. Ввести функцию у = ах² + bх + с . Определить название и вид графика, куда направлены ветви.

2. Найти нули функции: у = 0, ах² + bх + с =0

3. Решить квадратное уравнение.

4. Отметить на координатной прямой корни квадратного уравнения, схематично построить соответствующую параболу. Определить знаки, выбрать нужные промежутки.

5. Записать в ответ промежутки выбранные на 4 шаге.

2. Метод интервалов

1. Разложить квадратный трехчлен ах² + bх + с на линейные множители по

Теореме: ах² + bх + с = а(х - х₁)(х – х₂), для этого решить квадратное

уравнение ах² + bх + с = 0

2. Отметить на числовой прямой корни квадратного трехчлена.

3. Просчитать знаки квадратного трехчлена на полученных промежутках.(кривая знаков)

4. Выбрать промежутки с нужными знаками.

5. Записать в ответ выбранные промежутки ( используя знак , если промежуток не один).

Метод рассуждений, называют обычно методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств.

Опр: Рациональное неравенство с одной переменной х —это неравенство вида h(x) > q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения, т. е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.

При решении рациональных неравенств используются те правила, которые были сформулированы выше. С помощью этих правил обычно преобразуют заданное рациональное неравенство к виду f(x) > 0 (< 0), где f(x) — алгебраическая дробь (или многочлен). Далее разлагают числитель и знаменатель дроби f(x) на множители вида х - а (если, конечно, это возможно) и применяют метод интервалов.