1.4. Некоторые подходы при моделировании сложных систем и явлений

При моделировании сложных систем и явлений используются специфические подходы. Мы очень коротко остановимся на двух из них.

Иерархическая цепочка моделей

Первый подход – это построение иерархических цепочек моделей. В рамках такой цепочки мы можем выбрать необходимый нам уровень детализации описания системы с учетом наших вычислительных возможностей.

В качестве примера приведем иерархическую цепочку моделей газа.

При переходе от моделей более высокого иерархического уровня к моделям более низкого уровня увеличивается количество дополнительных условий и предположений, что автоматически уменьшает область применимости соответствующей модели.

На рис. 1.16 показана иерархическая цепочка моделей газа, где числа в кружочках обозначают соответствующие предположения:

1	–	возможность статистического описания с помощью функции распределения, упругие столкновения молекул;
2	–	предположения о локальном термодинамическом равновесии;
3,19	–	изотермичность;
4,11	–	несжимаемость жидкости;
5,7,18	–	отсутствие вязкости;
6	–	потенциальность течения;
8	–	неподвижность газа;
9	–	постоянство коэффициента теплопроводности, стационарность процесса;
10	–	изотермичность и отсутствие вязкости;
12	–	одномерность течения;
13	–	идеальность газа, изоэнтропность;
14,17	–	малые изменения плотности;
15,16	–	простые волны.

Иерархические цепочки моделей особенно характерны для физических систем.

Многомасштабное моделирование

Рассмотрим теперь второй общий подход, активно развивающийся в последнее время, в связи с задачами, поставленными нанонауками и нанотехнологией. Это так называемое «multiscale modeling» или многомасштабное моделирование. Необходимость учета процессов, протекающих на временных и пространственных масштабах, отличающихся в тысячи и миллионы раз, не позволяет провести непосредственное моделирование в рамках обычной модели.

Приведем характерный пример метода молекулярной динамики, в которой в явном виде описывается движение каждого атома в отдельности, с формальной точки зрения позволяющий описать любой материальный объект, однако, в действительности это не так. Так, интервал времени, который способна охватить молекулярная динамика, не превосходит нескольких наносекунд, а характерные времена фазовых переходов в миллионы раз больше.

Рис. 1.16. Иерархическая цепочка моделей газа. Стрелками показаны переходы к моделям более низкого иерархического уровня

Аналогично, метод функционала плотности (density functional theory – DFT) в принципе позволяет вычислить все внутримолекулярные и межмолекулярные взаимодействия и определить, например, третичную структуру белка, однако, здесь мы сталкиваемся с разномасштабностью в пространстве при переходе от долей нанометров (несколько атомов) к десяткам и сотням нанометров (десятки тысяч и миллионы атомов).

Чтобы не быть голословными, приведем конкретный, достаточно простой пример использования такого подхода.

В последние несколько десятилетий методы, основанные на теории функционала плотности (далее DFT), продемонстрировали высокую точность при вычислении структурных и энергетических свойств широкого спектра материалов.

Традиционно при вычислении ab initio система рассматривается при абсолютном нуле (Т = 0 К). Вместе с тем наибольший интерес в приложениях представляют свойства при конечных температурах, в частности, равновесные фазовые диаграммы или более общее – термодинамические свойства. Главная трудность, связанная с проведением квантово-механических расчетов – серьезные ограничения в размерах ячейки моделирования и в количестве учитываемых атомных конфигураций.

С другой стороны, вычисление термодинамических свойств требует, по определению, больших размеров системы и большого объема фазового пространства. Таким образом, мы должны будем сочетать метод DFT с методами статистической механики.

Типичным примером использования этого подхода является задача об определении из первых принципов стабильности различных фаз сплавов.

Опишем модель более подробно.

При фиксированных температуре и давлении стабильность фаз определяется минимумом энергии Гиббса G:

,

где – внутренняя энергия, – энтропия, – объем.

Энергия Гиббса легко определяется через статистическую сумму, определяемую как

,

где – энергия –го микроскопического состояния, – константа Больцмана. Величина определяется при помощи квантово-механических вычислений.

Далее

,

где – энергия Гельмгольца и

.

Опишем общий подход к решению задачи: вначале при помощи DFT для сравнительно небольшой системы, состоящий из не более чем сотен атомов, определяются параметры так называемого эффективного гамильтониана, который потом используется в статистическом моделировании, т.е. вначале – модель квантовой механики, а затем – модель более высокого уровня.

В заключение приведем общую схему методов и подходов, используемую при моделировании свойств материалов, химических и биологических систем, в том числе в области нанонаук и нанотехнологий (рис. 1.17).

На микроуровне (от пикометров до ангстремов) атомистическое моделирование проводится с использованием методов квантовой механики, таких, как ab initio, полуэмпирические и DFT, чтобы получить точную информацию о структуре и энергетике для малых молекулярных систем, содержащих менее чем сотню атомов.

Главная функция этих атомистических моделей в мигомасштабной схеме заключается в определении параметров для больших времен и пространственных размеров, т.е. для молекулярного моделирования. Аналогично осуществляется переход от молекулярного моделирования к следующим временным и пространственным размерам, следуя схеме, изображенной на рис. 1.17.

Завершая первую главу пособия, заметим, что математическое моделирование охватывает очень широкий спектр задач и, безусловно, не может быть рассмотрено в рамках одного пособия. С учетом назначения пособия мы будем рассматривать в дальнейшем только модели из физики, химии и биологии. Каждой предметной области посвящена своя глава, хотя, конечно, мы не сможем охватить всего многообразия моделей в каждой из этих наук.

Остановимся коротко на основном подходе, к изложении которого мы придерживаемся: мы будем исходить от физической, химической или биологической модели, а не как это часто делается, от математического метода или вычислительного алгоритма, т.е. мы вначале строим модель на языке предметной области, а затем строим уже математическую модель.

Ну и наконец, приведем слова Артуро Розенблюта и Норберта Винера по поводу стремления построить «наилучшую» модель: «Наилучшей моделью кота является другой кот, а еще лучше – тот же самый кот». По существу это означает, что «полная» модель тождественна оригиналу и смысл моделирования исчезает.

Рис. 1.17.