1.2. Разведение семги
Рассмотрим сравнительно простую модель, связанную с моделированием процесса разведения рыб и относящуюся к так называемым дискретным популяционным моделям с возрастной стратификацией. Описываемая модель была построена для рыбных ферм Шотландии, разводящих хорошо знакомую нам семгу для коммерческих целей.
Для описания процессов роста необходимо стратифицировать популяцию по возрасту. Например, разбиваем людей на 10 групп от 0 до 9 лет, от 10 до 19 лет и т.д. Каждые 10 лет индивидуум переходит из одной страты в другую или исчезает (по разным причинам) из популяции. То, что эта задача очень важна для человеческой популяции, очевидно, поскольку такие прогнозы необходимы для планирования количества мест в школах, количества пенсионеров и т.д.
По отношению к рыбной ферме задача резко упрощается, однако, по-прежнему сохраняет наиболее важные черты исходной задачи. Для рассматриваемого примера фермы по разведению семги необходимо учитывать три или максимум четыре возрастных страт. Каждая страта равна одному году. Основная задача фермера – обеспечить стабильность «урожая» на приемлемом уровне.
Формулировка
модели. Разделим
всю популяцию семги на три возрастных
категории и введем обозначения для
количества семги (в сотнях штук) для
каждой из категорий в
-м
году:
– количество семги в возрасте от 0 до 1
года (молодь),
– количество семги в возрасте от 1 до 2
лет (взрослые),
– количество семги в возрасте больше
2 лет (старые). Далее необходимо ввести
количество рыб, рождающихся и умирающих
за один год.
Предположим,
что 80% из страты
переходит в следующую страту А
и 75% из страты А
переходит в страту М.
Также предполагается, что 40% из страты
М
переходит в следующий год. Введем в
модель еще два параметра, обозначенных
как
и
:
доли молодых рыб, рожденных в течении
года от рыб из страт А
и М,
соответственно. Их значения определяются
непосредственно из сравнения результатов
моделирования с наблюдаемыми данными.
Все эти данные удобно представить в
матричной форме:
.
Начальный объем популяции с учетом распределения по возрастам можно задать в виде вектора с некоторыми положительными целочисленными компонентами. Например,
.
(1.12)
Изменение состава популяции и ее объема может быть представлено в виде следующего матричного уравнения:
.
(1.13)
Полагая,
например,
,
,
матричное уравнение (1.13) с учетом
начальных условий (1.12) можно записать
в виде следующей системы линейных
уравнений:
Отметим,
что очень многие реальные задачи приводят
к подобным системам уравнений. Матрица
,
впервые введенная в 1945 году, известна
как матрица
Лесли. В
зависимости от значения элементов
матрицы
стационарное состояние исследуемой
биологической системы может существовать,
а может и не существовать. С математической
точки зрения существование стационарного
состояния означает, что существует
такой вектор
,
что
.
Из этого утверждения вытекает следующая
система однородных линейных уравнений
для определения стационарного состояния:
(1.14)
Для существования ненулевых решений (1.14) требуется, чтобы коэффициенты и удовлетворяли условию:
.
(1.15)
Полагая
,
из условия (1.15) получим
.
В этом случае стационарное решение
(округленное до целых чисел) для введенных
ранее начальных условий (1.12) имеет вид:
.
Это решение с достаточной степенью
точности легко получается последовательным
применением уравнения (1.13).
Заметим, что существование ненулевого стационарного состояния непосредственно связано с тем, что наибольшее по модулю собственное значение матрицы R равняется единице.
Первоначально сформулированная модель не содержит вылова рыбы для продажи.
Предположим, что вылавливаются взрослые и старые рыбы и определенный процент каждой страты вылавливается в течение года. Введя вылов рыбы в первоначальную модель, получим:
,
(1.16)
где
есть
матрица вылова, Е
– единичная матрица третьего порядка,
,
– доля выловленных
рыб соответствующего возраста.
Математическая модель (1.16) снова должна быть исследована на существование стационарного состояния. Система, аналогичная системе (1.14), принимает следующий вид:
(1.17)
Аналогично получаем следующее условие существования ненулевого решения:
.
(1.18)
Это главное уравнение для фермера. Если он не будет придерживаться этого условия, то его бизнес потерпит крах тем или иным образом.
В
качестве примера исследования выражения
(1.18) положим
,
.
Тогда условие (1.18) примет вид:
.
(1.19)
|
Рис. 1.4. График функции (1.19)
|
получаем результат, показанный на рис.1.4.
Проанализируем
теперь полученные результаты. Рис. 1.4
позволяет выбрать необходимые для
устойчивости пропорции в вылове рыбы.
В конкретном случае это конечно зависит
от данных по рождаемости и смертности.
Здесь возникает еще один важный вопрос:
при какой пропорции между взрослыми и
старыми рыбами достигается максимальная
прибыль? Этот вопрос актуален, если
цена за различные категории рыб различна.
Для максимальной прибыли должно быть
продано максимальное количество рыбы
более дорогой ценовой категории. Однако,
из рис. 1.4 мы видим, что для взрослых рыб
и для старых рыб
.
Естественно, что точка максимальной
прибыли зависит от разницы в ценах.
Покажем,
как определить оптимальное значение
,
.
Пусть
стоимость взрослой рыбы
единиц и старой рыбы
единиц. Пусть
.
Тогда сумма выручки средств
будет определяться следующим выражением:
.
Таким
образом, задача о максимальной прибыли
определяется максимизацией этого
выражения. Отметим, что величины
и
должны быть представлены как функции
от
.
Завершая
анализ, предположим, что точкой
максимальной прибыли является значение
и
при уже выбранных значениях
и
.
Подставляя эти значения в систему
(1.17), определим стационарное значение
вектора
,
где
– произвольная
константа.
Полагая,
что емкость фермы около 20000 рыб, выберем
и получим решение
,
,
с общим количеством
рыб. Это означает, что каждый год будет
продаваться 1600 взрослых рыб и 2250 старых
рыб.
На
рис. 1.5
показано
изменение количества рыб всех возрастов,
начиная с нулевого года, когда на ферме
выпущено в пруды 20000 молодых рыб, т.е.
начальный вектор имеет вид
.
Из рисунка видно, что примерно на
год количество рыбы выходит на свое
стационарное состояние.
Мы рассмотрели три характерных примера простейших моделей, использующих несложный математический аппарат. Первые две модели носили чисто эмпирический характер. При построении третьей модели о разведении семги использовались определенные гипотезы о процессах, протекающих в реальной системе. Третья модель относится к классу феноменологических моделей, которые занимают промежуточное место между эмпирическими моделями и моделями, построенными на основе фундаментальных законов. Последний тип моделей особенно характерен для физики.
-
Количество рыб всех возрастов
Время (в годах)
Рис. 1.5. Кривая сверху показывает зависимость количества молодых рыб от времени, кривая в середине – взрослых рыб, кривая снизу – старых рыб
В завершение главы остановимся на двух общих подходах к построению моделей сложных систем и рассмотрим в качестве примера одну по-настоящему сложную модель. Изучение этой модели в 80-х годах ХХ века, по-видимому, сыграло решающую роль в резком ускорении процессов ядерного разоружения.