3.4. Определение числа независимых стехиометрических уравнений

Хорошо известно, что для системы из веществ, в которой протекает реакций, соответствующие стехиометрические уравнения могут быть записаны в виде системы алгебраических уравнений

, (3.34)

где – стехиометрические коэффициенты, отрицательные для реагентов и положительные для продуктов.

В данном случае задача ставится следующим образом: найти количество независимых стехиометрических уравнений среди уравнений (3.34).

В качестве конкретного примера рассмотрим систему стехиометрических уравнений, описывающих процесс окисления аммиака:

(3.35)

Пронумеруем вещества:

(1) , (2) , (3) , (4) , (5) , (6) . (3.36)

Введем матрицу стехиометрических коэффициентов :

где нумерация строк совпадает с нумерацией уравнений (3.35), а нумерация столбцов с введенной нумерацией веществ (3.36). Несложно доказать, что количество независимых уравнений равняется рангу матрицы .

Стандартный численный алгоритм вычисления ранга матрицы основывается на известной теореме о том, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы.

Количество линейно независимых строк матрицы определяется при выполнении прямого хода метода Гаусса. Оно равняется количеству ненулевых строк получившейся матрицы.

Отметим, что вычисление определителя квадратной матрицы также сводится к осуществлению прямого хода метода Гаусса. Действительно, несложно убедиться, что любое элементарное преобразование не меняет модуль определителя. Знак определителя легко находится, если будем знать суммарное количество перестановок строк и столбцов. Если это число четное, то знак определителя сохраняется, если нечетное, то меняется на противоположный. После выполнения прямого хода метода Гаусса матрица приводится к верхнетреугольному виду. Очевидно, что определитель такой матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Знак определителя, как уже было сказано, определяется четностью суммарного числа перестановок строк и столбцов.

Помимо метода Гаусса, существуют и другие методы численного решения систем линейных уравнений. Это такие методы, как метод Холецкого, метод прогонки, метод вращений, метод отражений (прямые методы), и метод простой итерации, метод Гаусса-Зейделя и т.д. (итерационные методы). Выбор конкретного метода, как правило, зависит от специфики исходной задачи (структуры матрицы). Для решения систем средней размерности используют прямые методы (к которым относится и метод Гаусса), в частности, для систем с симметричной, положительно-определенной матрицей, предпочтительнее использовать метод Холецкого, для решения систем с трехдиагональными матрицами – метод прогонки. Для решения систем высокой размерности, имеющих разреженные матрицы (матриц с большим количеством нулей) используют итерационные методы, поскольку в процессе их реализации матрица сохраняет свою структуру.

Мы завершим рассмотрение математических моделей в химии моделью, которая находится на границе между химией и биологией. Это характерное явление в современной науке и вопрос о соотношении модели с предметной областью не всегда может быть решен однозначно и во многом зависит от субъективных побуждений человека, строящего или изучающего математическую модель.