3.3. Определение состава газа методом масс-спектроскопии смеси после бомбардировки медленными электронами
В
процессе бомбардировки газа в
масс-спектрометре медленными электронами
образуется набор ионизированных
фрагментов, отличающихся отношением
,
где
–
масса фрагмента,
– заряд электрона. Для каждого такого
отношения масс-спектрограф регистрирует
пик тока, величина которого определяется
исходным веществом, отношением
и прямо пропорциональна давлению
исходного газа.
Таким
образом,
-й
пик для
-го
вещества может быть охарактеризован
коэффициентом чувствительности
(высота пика на микрон ртутного столба).
Набор этих коэффициентов уникален для
каждого конкретного газа. Распределение
высот пиков может быть получено для
-компонентной
смеси газов с парциальными давлениями
каждого из компонент. Высота
определенного пика, очевидно, выражается
следующим образом
.
(3.32)
В принципе для -компонентной смеси могут наблюдаться (и наблюдаются) более чем пиков. Однако, если мы выберем наиболее крупных пиков, то можем записать уравнений вида (3.32) и, решив полученную систему линейных уравнений с неизвестными парциальными давлениями, определим их значение.
В качестве примера приведем таблицу коэффициентов чувствительности для семи газов (табл. 3.1).
Задача
для смеси этих семи газов формулируется
следующим образом. Измерения дают нам
высоты пиков
,
,
,
,
,
,
и полное давление
мм.рт.ст.
Необходимо
определить парциальные давления газов
в смеси. Полное давление
позволит проверить правильность
вычисления, так как по закону Дальтона
.
Записывая для каждого из пиков уравнения вида (3.32), в результате получим систему семи линейных уравнений с семью неизвестными:
Таблица 3.1
Коэффициенты чувствительности для семи газов
Номер пика |
|
Значение коэффициентов чувствительности |
||||||
1. Водород
|
2. Метан
|
3. Этилен
|
4. Этан
|
5. Пропилен
|
6. Пропан
|
7. н-пентан
|
||
1 |
2 |
16,87 |
0,165 |
0,2019 |
0,317 |
0,234 |
0,182 |
0,110 |
2 |
16 |
0 |
27,70 |
0,862 |
0,062 |
0,073 |
0,131 |
0,120 |
3 |
26 |
0 |
0 |
22,35 |
13,05 |
4,42 |
6,001 |
3,043 |
4 |
30 |
0 |
0 |
0 |
11,28 |
0 |
1,110 |
0,371 |
5 |
40 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9,85 |
1,168 |
2,108 |
6 |
44 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,299 |
15,98 |
2,107 |
7 |
72 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4,670 |
(3.33)
Наиболее часто используемые методы решения системы уравнения вида (3.33) – одна из разновидностей метода Гаусса (метод исключений). Метод Гаусса излагается в стандартном курсе высшей математики для инженеров. Поэтому здесь мы не будем его рассматривать. Напомним только, что метод Гаусса состоит из прямого и обратного хода. Прямой ход заключается в приведении системы уравнений к верхнетреугольному виду при помощи так называемых элементарных преобразований. Обратный ход состоит в последовательной подстановке получаемых решений в уравнения системы так, что на каждом шаге решается линейное уравнение с одним неизвестным.
Заметим, что прямой ход метода Гаусса используется также при вычислении таких характеристик матрицы, как ранг и определитель.
Рассмотрим еще одну модель, приводящую к задаче вычислительной линейной алгебры.