Глава 3. Математическое моделирование в химии и химической технологии

Математическое моделирование в химии и химической технологии получило широкое распространение существенно позднее, чем в физике. Первые успешные примеры использования математики в химии относятся к концу XIX века и связаны с именами Гульдберга, Вааге и Вант-Гоффа (Вант-Гофф в 1901 году получил первую нобелевскую премию по химии). Окончательно это направление сформировалось лишь к середине ХХ века. Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Хорошо известно, что химические реакции и процессы очень часто протекают в газовой фазе, в том числе и такие промышленно важные, как реформинг или крекинг, поэтому начнем с уравнений состояний газа.

3.1. Уравнения состояния реальных газов

Во многих случаях оказывается, что простейшее уравнение состояния – уравнение идеального газа слишком неточно и необходимо учитывать неидеальность реакционной смеси.

Общее название соответствующих уравнений состояния – уравнение состояния реального газа. Наиболее известное уравнение состояния реального газа – уравнение Ван-дер-Ваальса – может быть записано как

, ( 3.1)

где и – давление, мольный объем и температура, соответственно; – универсальная газовая постоянная; – константы, специфические для конкретного газа.

Несмотря на то, что уравнение Ван-дер-Ваальса передает основные качественные особенности поведения реальных газов, количественно оно очень неточное и в настоящее время используются другие полуэмпирические или эмпирические уравнения. В качестве примера приведем несколько наиболее употребительных, таких, как уравнения Редлиха–Квонга (Redlich–Kwong), Соава– Редлиха–Квонга (Soave–Redlich–Kwong), Бенедикта–Вебба–Рубина (Benedict–Webba–Rubin) и др.

В частности, уравнение Соава–Редлиха–Квонга и аналогичное ему уравнение Пенга–Робинсона (Peng–Robinson) используются в известном промышленном химико-технологическом пакете HYSYS.

Уравнение Соава–Редлиха–Квонга может быть записано в виде, разрешенном относительно давления,

, (3.2)

где – функция температуры, а остальные обозначения такие же, как в уравнении (3.1). Уравнение (3.2), так же, как и уравнение (3.1), является полиномиальным уравнением третьей степени относительно объема и может быть представлено в следующем каноническом виде:

, (3.3)

где – коэффициент сжимаемости, тождественно равный единице для идеального газа; .

Таким образом, задача об определении мольного объема при заданной температуре и давлении сводится к нахождению корней полиномиального уравнения (3.3).

Заметим, что отыскание корней нелинейного уравнения – очень часто встречающаяся задача не только в химии и химической технологии, но и в других естественных науках и технических приложениях, в частности, в расчетах систем автоматического управления и регулирования, при определении собственных колебаний машин и конструкций, в задачах кинематического анализа и синтеза плоских и пространственных механизмов и т.д.