2.2. Диффузия

Диффузия – один из наиболее простых неравновесных процессов. Значение диффузии для физики, химии и биологии трудно переоценить. Замечательной особенностью уравнения диффузии является то, что помимо переноса вещества, точно такое же уравнение описывает перенос тепла.

Общее уравнение диффузии записывается как

, (2.10)

где – коэффициент диффузии, вообще говоря, зависящий от точки в пространстве, и – функции источников и стоков.

Рассмотрим более подробно происхождение уравнения (2.10).

Пусть – концентрация частиц определенного сорта или температура, – соответствующий поток частиц или тепла. Далее для определенности мы будем говорить о частицах. Рассмотрим куб , изображенный на рис. 2.1.

Изменение количества частиц в этом объеме дается векторной суммой входящих и выходящих потоков:

(2.11)

Из соотношения (2.11) следует уравнение непрерывности:

. (2.12)

Рис. 2.1

В рамках теории линейного отклика (это общий подход, справедливый при малых воздействиях) поток пропорционален градиенту концентрации :

. (2.13)

Из (2.12), (2.13) получим

. (2.14)

Добавляя источники или стоки, из (2.14) получаем уравнение (2.10).

Во многих случаях коэффициент диффузии можно считать не зависящим от точки и концентрации. В этом случае уравнение (2.10) упрощается и может быть записано как

. (2.15)

Уравнения диффузии (2.10) и (2.15) являются характерными представителями так называемых параболических уравнений в частных производных. Для уравнений в частных производных задача Коши на бесконечном интервале записывается в следующем виде:

. (2.16)

Более важным типом задач являются так называемые граничные задачи, в которых помимо начальных условий задаются еще и граничные условия, т.е. условия на границах области, внутри которой ищется решение диффузионного уравнения (2.10) или (2.15).

Рассмотрим наиболее часто встречающие граничные условия.

а) Задача Дирихле: заданы значения концентрации на границе области

, (2.17)

где – заданная функция времени (чаще всего );

б) Задача Неймана: заданы значения потока на границе области

, (2.18)

где – заданное значение потока в каждой точке границы области. Важным частным случаем является (граница области непроницаема для частиц).

Случаи, когда уравнение диффузии, далее в простейшем варианте (2.15), решается аналитически, достаточно редки, поэтому основным инструментом теоретического исследования процессов диффузии и теплопроводности являются численные методы.

Первым шагом здесь является дискретизация времени и пространства. Для простейшего одномерного случая имеем , и

, (2.19)

.

Решение диффузионных задач (2.15) может быть реализовано различными методами. Одним из наиболее употребительных является метод Кранка-Николсона (Crank-Nicolson), который представляет собой комбинацию явных и неявных методов:

(2.20)

Можно показать, что метод Кранка-Николсона устойчив, что является весьма важным свойством для конкретных приложений. Точность этого метода имеет порядок . При численной реализации метода Кранка-Николсона одной из наиболее затратных по времени операций является нахождение матрицы, обратной к некоторой трехдиагональной матрице. Эта процедура максимально быстро реализуется с помощью метода прогонки.

В случае, когда пространственная размерность задачи , нахождение обратной матрицы резко усложняется, так как метод прогонки уже не применим (соответствующая матрица перестает быть трехдигональной). Чтобы сохранить преимущества метода прогонки для многомерных диффузионных задач используются методы расщепления.

Рассмотрим примеры математической постановки простейших диффузионных задач в одномерном случае на интервале :

а) Задача Дирихле:

(2.21)

б) Задача Неймана (непроницаемые стенки):

(2.22)

Заметим, что само уравнение диффузии (теплопроводности) вида (2.10) и (2.15) не является фундаментальным физическим законом типа уравнений Ньютона. Эти уравнения появляются как линейное приближение при описании процессов переноса.

Действительно, уравнения диффузии (2.10), (2.15) подразумевают бесконечно большую скорость распространения частиц. Совершенно очевидно, что это не так. Наиболее явное проявление конечной скорости диффузии можно наблюдать при диффузии примеси через твердое тело. Аналогично, линейные уравнения теплопроводности вида (2.10) или (2.15) оказываются несправедливыми при больших температурных градиентах, например, при спуске космического аппарата на землю.

Мы довольно подробно рассмотрели диффузионные задачи для случая постоянного коэффициента диффузии, однако, для реальных систем коэффициент диффузии нередко оказывается функцией от концентрации.

В частности, это характерно для поверхностной диффузии частиц, адсорбированных на поверхности твердого тела.

Рассмотрим примеры математических моделей, используемых для вычисления термодинамических средних. Это очень важный класс моделей, так как позволяет прогнозировать свойства вещества.