3.Ду первого порядка: понятие изоклины, особые точки ду. Геометрическая интерпретация общего решения ду.

Особым решением называется такое решение ДУ, во всех точках которого нарушены условия теоремы Коши, т.е. в любой окрестности каждой точки (х,у) особого решения , по крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Геометрическая интерпретация ДУ первого порядка. Пусть дано ДУ, разрешенное относительно производной: y’=f(x,y) (1')

и общее решение данного уравнения. Общее решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости Оху.

Уравнение (1') для каждой точки М(х,у) определяет знание производной , т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей ч/з эту точку. Т.о., ДУ (1') определяет поле направлений на плоскости Оху.

С геометрической точки зрения задача интегрирования ДУ заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках. Для геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение называется изоклиной ДУ.

4.ДУ с разделяющимися переменными. Метод решения. Пример. ДУ вида р(x)dx+q(y)dy=0 называют уравнением с разделенными переменными.

Р(х)+Q(у)=С - общий интеграл ДУ разделенными переменными.

Уравнение вида

М₁(х) N₁(у) dx + М₂(х) N₂(y)dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными, где М₁, М₂ непрерывна на [a,b], N₁, N₂ непрерывна на [c,d]. Если N₁(у₀)=0, то у=у₀ - решение уравнения. Аналогично, если М₂(х₀)=0, то х=х₀ - решение уравнения. Если N₁(у)М₂(х)≠0,то уравнение равносильно

являющемуся уравнением с разделенными переменными.

Интегрируем это уравнение:

– общий интеграл

Пример.

5.Однородные и приводящиеся к однородным ДУ I порядка. Метод решения. Пример. Ф-ция f(x,у) называется однородной ф-цией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом λ справедливо тождество

.

Если , то f(x,у) однородная нулевого измерения.

Пример.

. f(x,у) - однородная нулевого измерения.

Уравнение 1-го порядка

называется однородным относительно х и у, если ф-ция f(x,у) есть однородная ф-ция нулевого измерения относительно х и у.

Перепишем ДУ в виде

Замена: y=Ux, где U=U(x), тогда , тогда уравнение примет вид

=g(U)-U

Если , то - решение ДУ. Если U , то

интегрируем

.

Если Ф(U) - первообразная для , то общий интеграл имеет вид

Уравнения вида

при приводятся к однородным подстановкой x=u+ , y= , где - точка пересечения прямых и

Если , то подстановка позволяет разделить переменные.

Пример.

Замена: y=Ux,

; ;

;

;

; .

6.Линейные ДУ I порядка, уравнения Бернулли. Методы решения. Примеры. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

линейное относительно неизвестной функции и ее производной, при этом ф-ции Р(х) и Q(x) непрерывны на некотором интервале (а,b).

Метод Бернулли. Решение уравнения ищем в виде: y=uv, где u=u(x), v=v(x), тогда y’=u’v+uv’. Выполним подстановку: u’v+uv’+

1)

;

Пример.

1) ;

;

; ;

Метод вариации произвольного постоянного.

- однородное у-ие соотв-щее

;

Подставим в исходное уравнение:

, тогда

Уравнение Бернулли -уравнение вида

где Р(х) и Q(х) - непрерывные на некотором интервале (а,b),

Разделим на

(#)

Обозначим

Подставим в (#)

- линейное уравнение относительно z.

Пример.

, получим

- линейное уравнение.

Решим методом Бернулли.

z=uv;z=u’v+uv’, тогда

1) ;

;

2)

)

7.ДУ в полных дифференциалах. Методы интегрирования. Примеры. Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если М(х,у) и N(х,у) - непрерывно-дифференцируемые в области D ф-ции, для которых выполняется соотношение

Докажем, что если левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал, то выполняется условие (2), и обратно - при выполнении условия (2) левая часть уравнения (1) есть полный дифферен­циал некоторой функции u(x,у), т.е. уравнение (1) имеет вид du(x,y)=0 u(х,у) = С.

Предположим

Тогда

Дифференцируя первое соотношение по у, а второе - по х, получим:

.

Равенство (2) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения (1) была полным дифференциалом некоторой функции u(х,у). Достаточность:

,

где х₀ - абсцисса любой точки из области существования решения. Дифференцируем по у:

.

,

.

Т.о., ф-ия u(х,у) будет иметь вид:

Общий интеграл имеет вид:

(x₀,y₀) – точки, в которых M и N определены.

Пример.

1)

Проверим условие

или

2)

тогда

8. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка вида. ДУ n-го порядка имеет вид:

. (*)

Выразим из (*) y⁽ⁿ⁾

1).

Найдем общий интеграл этого уравнения. Интегрируя по х левую и правую части, получим:

.

Интегрируем:

2) не содержит у.

Подстановка , тогда уравнение примет вид:

Рассмотрим ДУ 2-го порядка разрешенного относительно y’’ этого вида.

. Подстановка

. Получим: .

Пусть найдено решение , тогда

3) не содержит x.

Подстановка

и т.д.

Рассмотрим уравнение 2-го порядка этого вида . Подстановка . Получим:

.

Пусть найдено решение , тогда ,

, где – первообразная