1. Невосстанавливаемая резервированная система с целой кратностью:

   1. с нагруженным резервом;

   2. с ненагруженным резервом;

   3. с частично нагруженным резервом.

2. Восстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью при ограниченном ремонте:

1. с нагруженным резервом;

2. с ненагруженным резервом.

Исходные данные (для схем 2 а,б,в, 8 а,б,в):

t [ч]	[1/ч]	[1/ч]	[1/ч]	W	S
1800	5*10-2	10	4*10-3	4	3

1. Невосстанавливаемая резервированная система с целой кратностью

1.1. Система с нагруженным резервом

1.1.1. Расчетно-логическая схема системы

Считается, что для работы системы достаточно наличие хотя бы одного работающего элемента.

1.1.2. Граф состояний системы

В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Граф состояний системы имеет вид:

3λ

λ

2λ

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.1.3. Расчет основных характеристик системы

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Из этой системы получим Р_i(t):

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Вероятность безотказной работы системы

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

Для заданных значений t = 1800 ч и = 5*10^-2 1/ч .

Зависимость вероятности безотказной работы от времени работы представлена на графике:

Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов λ предоставлена на графике:

Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданного значения λ = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 2.292ч.

Зависимость среднего времени безотказной работы от интенсивности отказов приведена на графике:

1.1.4. Выводы

1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.

2. При увеличении интенсивности отказов λ вероятность безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.

3. При увеличении интенсивности отказов λ время безотказной работы уменьшается.

4. Для заданных значений интенсивности отказов = 0.8 1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы .

5. Для заданного значения = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы m_t составляет 2.292 ч, что меньше заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью лишь 0.117 к заданному времени система будет находиться в работоспособном состоянии.

Система с частично нагруженным резервом

1.2.1. Расчетно-логическая схема системы

Считается, что для работы системы необходим один работающий элемента. При выходе из строя рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в теплом резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.

1.2.2. Граф состояний системы

λ+2λ₀

λ

λ+λ₀

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является состояние 3.

1.2.3. Расчет основных характеристик системы

Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний системы, имеет вид:

Нормировочное условие:

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений:

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

Из этой системы получим Р_i(t):

После применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:

Вероятность безотказной работы системы

Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t) = 1-P₃(t)

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и ₀ = 0.4 1/ч P_сист = 0.184.

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа резервных элементов λ₀ представлена на графике:

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности отказа нагруженных элементов λ представлена на графике:

Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданного значения λ=0.8 1/ч и λ₀=0.4 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 2.708ч.

Зависимость среднего времени безотказной работы P(t) от интенсивности отказов резервных элементов λ₀ приведена на графике:

Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов нагруженных элементов λ приведена на графике: