17. Выборочный метод

Пусть изучается некоторый количественный признак Х (например, рост стоимости товаров) и для его изучения имеется некоторая совокупность объектов. Иногда исследуются все объекты совокупности, иногда только их часть.

Совокупность объектов, взятых для исследования, называется выборкой. Совокупность объектов, из которых взята выборка, называется генеральной. Число объектов (выборочной или генеральной) совокупности называется объемом.

Задача математической статистики состоит в том, чтобы исследовать свойство выборки и обобщить эти свойства на всю генеральную совокупность.

Целью математической статистики является получение выводов о параметрах, виде распределения и других свойствах генеральной совокупности по конкретной выборке. В этом случае возникает вопрос насколько хорошо выборка представляет характеристики генеральной совокупности. Требуемая точность представления по тем или иным параметрам является условием для определения объема выборки.

Чтобы выборка хорошо отражала генеральную совокупность, она должна быть случайной и выборочные значения должны быть независимыми.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x₁ наблюдалось n₁ раз, x₂ – n₂ раза, x_k – n_k раз и – объем выборки. Наблюдаемые значения х_i называют вариантами, n_i их частотами.

Перечень вариант, записанных в возрастающем порядке, и соответствующих частот (относительных частот) называется статистическим распределением выборки или вариационным рядом.

Общий вид дискретного вариационного ряда показан в таблице 1.

Таблица 1

Х	xl	x2	…	xk
ni	nl	n2	…	nk

Относительными частотами называется отношение частоты к объему выборки:

18. Эмпирическая функция распределения и ее свойства

Также как и в теории вероятности для описания изучаемого признака вводится функция распределения. Пусть Х – изучаемый признак, x∈ R .

Эмпирической функцией распределения называется функция, определяющая для каждого значения x относительную частоту события Х< x

n_x-число вариант меньших x, n- объем выборки

В теории вероятностей функцию F(x) распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между этими функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события ( X < x ), а эмпирическая функция F (x) n относительную частоту этого же события. На основании теоремы Бернулли при n→∞ эмпирическая функция распределения стремится к теоретической.

Таким образом, эмпирическая функция распределения строится для оценки вида теоретической функции распределения.

Свойства функции распределения:

1. Для любого действительного числа x функция распределения заключена в интервале от 0 до 1: 0 ≤ F_n (x) ≤ 1

2. F_n(x) –неубывающая функция.

3. F_n(x) непрерывна слева в каждой точке x∈ R

4.Если a=min{x_i}, то для каждого x≤ а. F_n(x)=0

Если b=max{x_i}, то для каждого x>b F_n(x)=1