3. Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.

При решении задач с использованием формулы классической вероятности часто применяют формулы комбинаторики.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности о подсчете числа комбинаций, получаемых из элементов заданного конечного множества.

В каждом опыте важным является способ выбора элементов. Существуют две схемы выбора: схема выбора без возвращения элементов и схема выбора с возвращением элементов. В первом случае извлеченные m элементов (без разницы по одному или вместе) не возвращаются в исходную совокупность. Во втором случае на каждом шаге элементы извлекаются по одному, фиксируется выбранный элемент, затем он возвращается, и вся исходная совокупность тщательно перемешивается. Таким образом, во втором случае один и тот же элемент может извлекаться неоднократно.

Рассмотрим сначала схему выбора без возвращений.

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.

Перестановками называются комбинации, составленные из одних и тех же элементов, которые отличаются только порядком их следования. Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле Р_n= n!

Пример 3. Сколькими способами можно рассадить 8 человек по восьми вагонам, если в каждый вагон сядет по одному человеку.

Решение n=P₈=8!=40320

Размещениями называются комбинации, составленные из n элементов по m (0 < m ≤ n) , которые различаются либо составом элементов, либо порядком их следования. Число размещений из n элементов по m вычисляется по формуле

Пример 4. Кодовый замок составлен из 5 цифр. Сколькими способами может быть составлен код, если все цифры кода различны.

Решение

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n элементов по m (0 < m ≤ n) , которые различаются только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле:

Свойства сочетаний:

1. C_n⁰=1,т.к. по определению 0!=1

2. C_n¹= n,

3. C_n^m=C_n^n-m

Урновая схема

Пусть в урне имеется N шаров, среди которых М белых, а остальные черные. Наудачу вытащили k шаров, найти вероятность того, что среди них l белых.

Эта формула называется гипергеометрическим распределением.

Схема выбора с возвращением

Если при выборке m элементов из n элементы возвращаются обратно и упорядочиваются , то говорят, что это размещения с повторениями.

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, порядком и количеством повторений элементов. Обозначаются они и вычисляются по формуле:

Если при выборке из n элементов по m элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.

Число сочетаний с повторениями обозначается

=

Пусть в множестве с n элементами есть k различных элементов, при этом первый элемент повторяется n₁ раз, второй элемент – n2 раз…, k-й элемент – n_k раз, причем n₁+n_2+…+ n_k =n

Перестановки из n элементов данного множества называют перестановками с повторениями из n элементов и обозначают

Р_n(n_1, n_2,…n_k)=