Неравенство Чебышева

Для случайной величины ξ , имеющей ограниченную дисперсию Dξ , для любого ε > 0 справедливо неравенство Чебышева

(1.1)

Доказательство.

Пусть Mξ = a .

Докажем неравенство (1.1) для непрерывной случайной величины ξ с плотностью распределения p(x) . Вероятность P(|ξ – a| ≥ε ) есть вероятность попадания случайной величины ξ

в область, лежащую вне промежутка [ a −ε , a +ε ]. Можно записать

Область интегрирования |x – a| ≥ε . Возведем обе части неравенства в квадрат:

(x − a)² ≥ε² . Разделив на ε² , получим

так как интеграл от неотрицательной функции при расширении области интегрирования может только возрасти. Аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины ξ , только интегралы (вида заменяются соответствующими суммами (вида

Отметим, что неравенство Чебышева часто используется и в таком варианте:

(1.2.)

Теорема Чебышева (Закон больших чисел)

В формулировке ЗБЧ используется понятие «сходимости случайных величин по вероятности».

Последовательность случайных величин ξ₁, ξ₂,…,ξ_n, …сходится по вероятности к величине a (случайной или неслучайной), если для любого ε > 0 вероятность события |ξ_n – a| <ε при n→∞ стремится к единице: (1.3.)

Сходимость по вероятности символически записывают так (написать P над стрелкой)

Теорема Чебышева

Если ξ ₁, ξ ₂,…, ξ _n, … – последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одним и тем же числом С, то для любого ε >0 выполняется

(1.4.)

Доказательство:

Так как дисперсии ограничены С, то

Тогда, применяя к случайной величине неравенство (1.2), получим

Переходя к пределу при n→∞ и учитывая, что вероятность любого события не превышает единицы, получаем

Суть закона больших чисел: если число случайных величин неограниченно растет, то их среднее арифметическое утрачивает смысл случайной величины и стремится к постоянной величине, равной среднему арифметическому их математических ожиданий:

Частным случаем закона больших чисел является теорема Бернулли.

Теорема Бернулли

Пусть в схеме Бернулли вероятность появления события А в одном испытании равна р, число наступлений этого события при n независимых испытаниях равно m , то для любого числа ε > 0

то есть относительная частота события А сходится по вероятности к вероятности p события A.

16.Центральная предельная теорема.

Многие задачи ТВ связаны с изучением суммы независимых случайных величин, которая при определенных условиях имеет распределение, близкое к нормальному. Эти условия выражаются центральной предельной теоремой (ЦПТ).

Пусть ξ₁, ξ₂, …, ξ_n, …– последовательность независимых случайных величин. Обозначим η_n = ξ₁ + ξ₂ +…+ ξ _n. Говорят, что к последовательности ξ ₁, ξ ₂, …, ξ _n, … применима ЦТП, если при n→∞ закон распределения η_n стремится к нормальному:

Суть ЦПТ: при неограниченном увеличении числа случайных величин закон распределения их суммы стремится к нормальному.

Частным случаем ЦТП является интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа

Ранее показано, что Mμ_n = np, Dμ_n =npq, где

Пусть a = −∞, b = x, тогда

Сформулируем ЦПТ для одинаково распределенных случайных величин:

Теорема. Пусть с.в. ξ ₁, ξ ₂,…, ξ _n ,… независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание Mξ_i =a и дисперсию Dξ_i =σ² . Тогда к этой последовательности применима ЦТП: