22. Доверительные интервалы

Оценка неизвестного параметра, которая задается двумя числами (концами интервала), называется интервальной.

Пусть по выборке получена точечная оценка θˆ неизвестного параметра θ . Эта оценка тем точнее, чем меньше |θ − θˆ| .

Методы математической статистики не позволяют наверняка утверждать, что выполняется неравенство |θ −θˆ |<δ , где δ > 0 .

Можно лишь говорить о вероятности его выполнения P(|θ −θˆ|) <δ ) = γ .

Величина γ – называется доверительной вероятностью или надежностью. В качестве γ берут число, близкое к единице: 0,95; 0,99; 0,995.

Оно выбирается исследователем самостоятельно. Раскрыв знак модуля, получим определение доверительного интервала P(θˆ −δ <θ <θˆ +δ ) = γ .

Доверительным называется интервал (θˆ − δ ; θˆ +δ ) , который покрывает неизвестный параметр θ с заданной надежностью γ . При этом δ называется точностью оценки.

Замечание. Неверно говорить, что θ попадает в интервал. Задача состоит в том, чтобы построить такой интервал, который бы заключал в себе неизвестный параметр θ .

Для того, чтобы построить доверительный интервал, необходимо знать закон распределения оценки θˆ= θˆ(x_1,x_2,…,x_n) как функции от выборки (x_1,x_2,…,x_n). Затем поступают следующим образом:

1) вычисляют точечную оценку θˆ ,

2) выбирают надежность γ ,

3) вычисляют точность оценки δ .

23. Распределения х2, Стьюдента, Фишера.

Рассмотрим случайные величины, которые строятся путем функционального преобразования нормальных случайных величин и используются в математической статистике.

Распределение χ2 (хи-квадрат)

Пусть ξ₁ ...,ξ_n, независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина

называется распределенной по закону χ 2 с n степенями свободы.

Математическое ожидание и дисперсия распределения χ 2 равны:

Mχ_n² = n, D χ²=2n

При n→∞ распределение χ 2 медленно стремится к нормальному.

Распределение Стьюдента

Пусть ξ₁ и ξ₂ , независимы и ξ₁ имеет стандартное нормальное распределение, а ξ₂ - распределение χ2 с k степенями свободы. Тогда случайная величина

называется распределенной по закону Стьюдента с k степенями свободы.

При k→∞ распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному. Математическое ожидание и дисперсия распределения Стьюдента

Распределение Фишера

Пусть ξ₁, и ξ ₂ независимы и имеют распределение χ2 с k₁ и k₂ числом степеней свободы соответственно. Тогда случайная величина

называется распределенной по закону Фишера с k₁ и k₂ числом степеней свободы.

Замечание. Табличные значения случайной величины Фишера всегда больше 1.

24. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания

нормального распределения.

Пусть изучаемый признак Х имеет нормальное распределение. Построим по выборке (x₁ ,x₂ ,...,x_n )доверительный интервал для оценки математического ожидания a при заданной надежности γ .

Несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания является выборочное среднее значение в aˆ =

1. Значение параметра σ известно. Доверительный интервал будет иметь вид:

Здесь n - объем выборки. Точность оценки

где значение числа t_γ находится с помощью таблиц функции Лапласа на основании выбранной надежности γ из уравнения 2Ф₀ ( t_γ ) = γ

2. Пусть σ неизвестно.

В этом случае доверительный интервал будет иметь аналогичный вид, только вместо σ нужно подставить его оценку:

В результате доверительный интервал будет иметь вид

В этом случае t_γ определяется по таблице распределения Стьюдента на основании γ и числа степеней свободы n−1.

Так как при n→∞ распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному, то при больших объемах выборки ( n >100 ) при нахождении t_γ можно пользоваться таблицей функции Лапласа.