1. Случайные события. Действия над событиями.

Пусть в опыте со случайным исходом имеется множество Ω (омега) всех возможных исходов опыта. Каждый элемент этого множества Еϵ Ω называют элементарным событием (исходом), само множество Ω – пространством элементарных событий (исходов).

Случайным событием А в теоретико-множественной трактовке называется некоторое подмножество множества Ω: A⊆ Ω. В свою очередь событие А может распадаться на элементарные события (непересекающиеся).

Пример 1. При бросании игральной кости пространство элементарных событий Ω = {1. 2, 3, 4, 5, 6} . Если событие А={выпадение четного числа очков}={2, 4, 6}, то событие А рас­падается на 3 элементарных события: А₁={2}; А₂={4};Аз={6}, т.е

А = А₁+А₂+А₃.

Подмножеством множества Ω можно рассматривать и само Ω - оно будет в этом случае достоверным событием. Ко всему пространству Ω элементарных событий добавляется еще и пус­тое множество ∅; это множество рассматривается тоже как со­бытие, но невозможное.

Основные операции над случайными событиями. Над событиями можно проводить все операции, выполнимые для множеств.

Если при появлении события В происходит и событие А, то говорят, что событие В влечет за собой событие А (или В явля­ется частным случаем А) и обозначают В ⊂ А.

Если В⊂А и А⊂ В, то говорят, что события Аи В равно­возможны и обозначают А=В.

Событие, состоящее в том, что появится хотя бы одно из событий А или В называют суммой событий и обозначается А+В. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из них.

Событие, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно, называется произведением событий и обозначается А·В.

Событие, состоящее в том, что А произойдет, а В не произойдет, называется разностью и обозначается А – В.

Событие, состоящее в том, что А не произойдет, называется противоположным, обозначается

События А и называются противоположными, если их одновременное появление невозможно и в сумме они дают пространство элементарных исходов: A⋅ = ∅ , A+ = Ω.

События А и В называются несовместными, если их одновременное появление невозможно A ⋅ B = ∅ .

События В1, ..., Вn образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет все пространство элементарных событий, а сами события несовместны: Ø, .

Рассмотрим некоторое подмножество событий F, причем операции сложения, умножения и вычитания не выводят из F. Числовая функция P : F →R называется вероятностью, если выполнены следующие три аксиомы.

Аксиома 1. Каждому случайному событию А из F ставится в соответствие неотрицательное число, называемое вероятностью события P(A) .

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна 1. P(Ω) =1

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если А и В несовместные события из F, т.е. AB = ∅, то P(A + B) = P(A) + P(B) .

Эту аксиому называют теоремой сложения или правилом сложения вероятностей.

2. Классическая вероятность и ее свойства.

Для схемы случаев (схемы урн), т.е. для событий, обладающих свойствами полноты, несовместности и равновозможности, справедлива формула классической вероятности (1.1). Здесь вероятность события А – отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n элементарных исходов испытания:

Далее, наряду с обозначением P(A) для вероятности события А будем использовать обозначение p , т.е. p = P(A) .

Пример 2. Воспользуемся условием примера 1. Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при подбрасывании кубика число выпавших очков будет четно.

Решение. При бросании игральной кости пространство элементарных событий Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Все события равновозможны и несовместны. Если событие А={выпадение четного числа очков}={2, 4, 6}, то событие А имеет 3 элементарных исхода благоприятствующих данному событию: А₁₌{2}; А₂₌{4}; А₃₌{6}, т.е. m = 3. Число всевозможных исходов равно 6. Имеем n = 6.

Недостатком формулы классической вероятности является ограниченность ее использования при решении задач. Она применяется лишь в случае равновозможности и несовместности любого из конечного числа исходов опыта.

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства:

1. Вероятность невозможного события равна нулю P( ∅ ) = 0.

2. Вероятность противоположного события равна P( ) = 1− P(A) .

3. Если событие А влечет за собой событие В, то P(A) ≤ P(B) .

4. Для любого события А вероятность есть число, лежащее в границах от 0 до 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

5. Для двух произвольных событий А и В вероятность суммы событий не превосходит суммы вероятностей

P(A + B) ≤ P(A) + P(B) .