3.5. Расчет страхового тарифа по страхованию жизни

Договор страхования жизни предусматривает уплату страховщиком определенной суммы застрахованному лицу в связи с дожитием последнего до определенного срока или в связи со смертью в период действия договора страхования. Поэтому для исчисления объема страхового фонда страховой организации необходимо располагать сведениями: сколько лиц из числа застрахованных доживет до окончания срока действия договоров страхования; у скольких лиц из числа застрахованных, и в какой степени будет утрачена трудоспособность или наступит стойкое расстройство здоровья. При умножении количества выплат на соответствующие страховые суммы позволит определить размеры предстоящих выплат, т.е. появится возможность узнать, в каких размерах нужно будет аккумулировать страховой фонд.

Тарифная ставка по страхованию жизни определяет, каким должен быть взнос каждого из страхователей в общий страховой фонд с единицы страховой суммы. Особенности страхования жизни накладывают отпечаток на построение тарифов, которые проявляются в следующем:

1. расчеты производятся с использованием демографической статистики и теории вероятностей;

2. при расчетах применяются способы долгосрочных финансовых вычислений;

3. тарифная ставка состоит из нескольких частей, каждая из которых призвана сформировать страховой фонд по одному из видов страховой ответственности, включенных в условия договора страхования.

Модель потока платежей по страхованию жизни должна учитывать все требования, предъявляемые к страховым взносам и страховым выплатам с целью получения такой важной для актуарных расчетов характеристики, как актуарная стоимость страховых выплат (взносов). Для разработки такой модели необходимо иметь систему показателей вероятности, характеризующих статистические закономерности дожития до того или иного возраста. Эти вероятности можно получить, используя таблицы смертности, а также следует задаться некоторым размером процентной ставки.

Таблица смертности представляет собой числовую модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей и строится на обобщении данных демографической статистики за некоторый период времени. Таблица смертности показывает, как последовательно с увеличением возраста уменьшается эта совокупность, достигая нуля сразу при достижении предельного возраста.

Как уже было отмечена выше, на величину тарифной ставки по страхованию жизни влияет также то, что страховая организация использует полученные в виде страховых взносов средства как кредитные ресурсы, получая определенный доход. Абсолютный размер дохода, помимо нормы доходности (% ставки), зависит еще от размера той суммы, которая отдана в кредит, и от времени, в течение которого эта сумма находилась в обороте.

Информационной базой для расчета страховых тарифов по страхованию жизни является таблица смертности, которая формируется на основании данных переписи населения.

1. Содержание информации и порядок построения таблицы смертности представлены в табл. 15.

2. Таблица 15.

Таблица смертности

Возраст	Число живущих по данным переписи населения	Число смертных случаев по данным переписи	Норма смертности	Живущие	Умершие
1	2	3	4	5	6
0	632698	116490	0,18412	100000	18412
1	522777	34338	0,06568	81588	5359
2	490999	13564	0,02763	76229	2105
и т.д.

Гр.2 и гр.3 – статистические данные.

Гр.4 = гр.3: гр.2, т.е. 116490: 632698 = 0,18412.

Таблица смертности показывает число умерших из года в год в каждом возрасте из данного числа рождений.

Гр.5 – произвольное число для возраста 0. Часто используется число 100000. Умножением данного произвольного числа (например, 100000) га число в гр. 4 для возраста 0, получаем число умерших до достижения одного года (гр.6). В нашем случае,

гр.6 = 100000 *0,18412 = 18412.

Гр.5 для следующего года определяется разницей значения гр. 5 предыдущего года и гр.6 предыдущего года.

Для расчета страховых тарифов используются общие для населения региона данные, как перепись населения, так и статистическая информация, собранная непосредственно в страховой компании за ряд лет.

При расчете страховых тарифов по страхованию жизни используется технический процент. Сущность технического процента (нормы доходности) заключается в том, что он представляет собой форму участия страхователя в инвестиционном доходе страховщика. Технический процент определяется с использованием формулы сложных процентов:

(2.22)

где i – годичный доход капитала (в страховой терминологии – норма доходности);

, - соответственно накопленный и вложенный капитал.

В страховании решается обратная задача, т.е. требуется определить, какую сумму необходимо вложить в настоящий момент, чтобы по истечении определенного времени (п) получить сумму, равную единице капитала. Таким образом, здесь требуется определить современную стоимость будущего капитала. В этом случае технический процент (дисконтирующий множитель) будет определяться по формуле (2.23):

(2.23)

Проиллюстрируем использование технического процента в расчетах.

Определим размер страхового платежа, обеспечивающего через 2 года страховую сумму в 10000 руб. при норме доходности в 9% годовых.

Страховой платеж (С) в этом случае будет определяться:

Если платеж будет не разовым (единовременным), а ежегодным, т.е. в данном случае будет производиться 2 раза, тогда его можно определить по формуле (2.24):

(2.24)

В нашем случае, = 10000 *  0,09  ( - 1)  = 4785 руб.

Страхование жизни обычно осуществляется в двух формах: страхование сумм (капитала) и страхование ренты (аннуитетов). Различия вызваны формой выплат. При страховании капитала выплата производится застрахованному в случае наступления страхового события единовременно в размере страховой суммы. При страховании ренты производятся периодические выплаты. Далее рассмотрим расчеты тарифных ставок по страхованию жизни капитала и страхованию ренты.

Брутто-ставка (Тб) по страхованию жизни определяется так же, как и по рисковым видам страхования по формуле (2.2):

Рассмотрим порядок расчета нетто-ставки по страхованию жизни(капитала) при помощи таблицы смертности и таблицы коммутационных чисел.

Определение нетто-ставки ( ) осуществляется по формуле (2.25):

(2.25)

где – единовременная ставка на дожитие для застрахованного возраста х лет со сроком страхования лет;

- единовременная ставка на случай смерти для застрахованного возраста х лет со сроком страхования лет.

Такая структура тарифной ставки объясняется наличием двух страховых случаев в классическом страховании жизни.

Определение нетто-ставки возможно двумя способами: при помощи таблицы смертности, а также при помощи таблицы коммутационных чисел. Для сокращения записи формул страховых аннуитетов и упрощения страховых расчетов применяют так называемые коммутационные функции или коммутационные числа, что позволяет существенно сократить работу актуария и представить аналитические результаты в компактном и наглядном виде. В основе стандартной таблицы коммутационных чисел лежит таблица смертности, дополнительным параметром является процентная ставка, которая характеризует принятый уровень доходности инвестированных ресурсов. Взаимосвязь такова, что чем выше процентная ставка, тем меньше значение коммутационной функции.

Определение нетто-ставки с помощью таблицы смертности.

А) Определим нетто-ставку при помощи таблицы смертности. Сначала рассчитаем единовременную ставку на дожитие. Для этого используется формула (2.26):

(2.26)

где – страховая сумма, которая традиционно в рассматриваемых расчетах принимается за 100 руб.;

– число доживающих до возраста ;

- число доживающих до возраста ;

- дисконтирующий множитель, размер которого зависит от нормы доходности по страхованию жизни, определяется по формуле (2.27).

(2.27)

Рассмотрим пример расчета. Используем следующие данные, занесенные в таблицу смертности (см. табл. 16).

3. Таблица 16.

Возраст х	Число доживающих до возраста х	Число умирающих при переходе от возраста х к возрасту х+1
0	100000,0	4060,0
1	95940,0	860,0
…	….	…
20	92917,0	150,0
…	…	…
40	88565,0	319,0
41	82246,0	336,0
42	87910,0	352,0
43	87558,0	369,0
44	87189,0	384,0
45	86805,0	400,0
…	…	…
60	76693,0	1099,0

Для застрахованного возрастом 40 лет при сроке страхования 5 лет и норме доходности 3% годовых единовременная ставка на дожитие составит:

= (86805,0 * 0,86261)/ 88565,0 * 100 = 84,55 руб. со 100 руб. страховой суммы.

Рассчитаем единовременную ставку на случай смерти ( ) по формуле (2.28):

(2.28)

– число умирающих при переходе от возраста к возрасту .

В случае, если застрахованному 40 лет и срок страхования 5 лет, ставка на случай смерти составит:

40А5 = (319*0,97087 + 336*0,94260 + 352*0,91514 + 369*0,88849 + 384*0,86261)\88565,0*100 = 1,82 руб. со 100 руб. страховой суммы.

Таким образом, тарифная нетто-ставка (Тн) в рассматриваемом примере составит 86,37 руб. со 100 руб. страховой суммы или 86,37%.

В практике страхования единовременные ставки применяются достаточно редко. Чаще всего условия страхования предусматривают внесение страхователем периодических страховых взносов, скажем ежегодных. Чтобы получить годовые взносы, нельзя просто поделить единовременный взнос на соответствующее количество лет страхования, т.к. необходимо учитывать потерю на доходах от инвестирования временно свободных средств, а также уменьшение числа застрахованных вследствие смертности, поэтому применяют так называемые коэффициенты рассрочки (2.29).

(2.29)

Для получения годичной тарифной ставки следует ее единовременное значение разделить на коэффициент рассрочки .

Определение нетто-ставки с помощью коммутационных чисел.

Б) Рассчитаем нетто-ставку при помощи таблицы коммутационных чисел.

Сначала определим значения коммутационных чисел. Коммутационные числа представляют собой математическую комбинацию данных таблицы смертности и служат для упрощения, не имея при этом конкретного экономического смысла.

где – последнее значение таблицы коммутационных чисел.

В обозначениях коммутационных чисел формулы для определения нетто-ставок на дожитие и на случай смерти выглядят таким образом:

единовременная ставка на дожитие (2.30)

единовременная ставка на случай смерти (2.31)

При расчете тарифных ставок с использованием коммутационных чисел можно использовать специальные формулы (2.32), (2.33) для расчета годичных взносов:

(2.32)

где -годичный взнос на случай смерти страхователя возраста x лет на n лет.

(2.33)

где - годичный взнос на дожитие страхователя возраста х лет на n лет.

Аннуитеты.

Аннуитет представляет договор страхования , по которому выплачивается годовая рента в течение какого-либо периода жизни застрахованного в сроки, установленные договором в обмен на уплату однократной премии при подписании договора. На практике годовая рента может выплачиваться и ежеквартально, и ежемесячно, и с другой периодичностью, но в сумме равна начисленной за год.

Виды аннуитетов:

• простой - выплачивается годовая рента пожизненно;

• отсроченный – оговаривается период между заключением договора и началом выплаты ренты;

• срочный – предусматривает выплату ренты только до строго оговоренной даты или до преждевременной смерти до ( до окончания действия договора страхования);

• гарантированный – предусматривается выплата ренты пожизненно ( до смерти застрахованного) или в течение гарантированного срока, в зависимости от длительности каждого из указанных периодов ( какой период будет дольше). В случае смерти застрахованного в течение фиксированного периода рента будет выплачиваться наследникам до окончания этого периода. Общая сумма ренты может быть выплачена наследникам; единовременно;

• аннуитеты с защитой капитала. По этому договору застрахованный или его наследники получают полную стоимость уплаченной премии в любом случае. Застрахованному гарантируется пожизненная выплата дохода. Если же застрахованный умирает прежде, чем общая сумма выплаченной ренты будет равна сумме уплаченных премий, то оставшаяся разница выплачивается наследникам

Кроме того, по способу выплат различают аннуитет пренумерандо (вперед) - выплачивается в начале каждого страхового года или другого установленного договором периода, и аннуитет постнумерандо ( назад) – выплачивается в конце периода, установленного для очередной выплаты страхового обеспечения.

Актуарная стоимость аннуитета ( или стоимость потока) представляет из себя сумму последовательных платежей, дисконтированных на некоторый момент, с учетом вероятностей их выплат или, другими словами, это математическое ожидание последовательности дисконтированных платежей.

Рассмотрим порядок расчета нетто-ставки с условием выплаты ренты. Для определения страховых тарифов с условием выплаты ренты используются формулы аннуитетов, а также коммутационные числа. Методика расчета исходит их того, что страхование с условием выплаты ренты представляет собой своего рода последовательное повторяемое страхование на дожитие:

(2.34)

Определим различные виды аннуитетов для застрахованного возрастом х при ежегодной выплате ренты в 1 руб. в табл.17.

Таблица 17.

Формулы для расчета страхового тарифа по страхованию жизни с условием выплаты ренты

Вид аннуитета	Немедленные пожизненные	Отложенные на п лет пожизненные	Ограниченные на t лет немедленные	Ограниченные на t лет отложенные на n лет
Пренумрандо	Если выплаты производятся m раз в году: m=12	Если выплаты производятся m раз в году: m=12
Постнумерандо	Если выплаты производятся m раз в году: m=12	Если выплаты производятся m раз в году: m=12

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте понятие актуарных расчетов.

2. Перечислите особенности страхового дела, влияющие на проведение актуарных расчетов.

3. Назовите основные задачи актуарных расчетов.

4. Определите классификацию актуарных расчетов.

5. Что следует понимать под тарифной политикой? Каковы цели и принципы тарифной политики?

6. Какие показатели страховой статистики используются в актуарных расчетах?

7. Какова структура тарифной ставки? Что такое брутто-ставка, нетто-ставка?

8. Перечислите основные элементы нагрузки.

9. Что в себя включают расходы на ведение дела?

10. Определите алгоритм расчета тарифной ставки по массовым рисковым видам страхования.

11. В чем заключаются особенности актуарных расчетов по добровольному медицинскому страхованию.

12. Каким образом таблица смертности связана с актуарными расчетами по страхованию жизни?

13. Что такое норма доходности?

14. Что такое коммутационные числа? Для чего они служат?

15. Постройте алгоритм расчет единовременной тарифной ставки по страхованию жизни при помощи таблицы смертности, при помощи таблицы коммутационных чисел?

16. Постройте алгоритм расчета тарифной ставки по страхованию жизни с условием выплаты ренты.

Контрольные вопросы и задания

1. Рассчитайте брутто-ставку, если известно, что показатель убыточности – 0,50 руб. на 100 руб. страховой суммы, в т.ч. за 5 предыдущих лет: 0,50 0,45 0,70 0,30 0,58 руб. на 100 руб. страховой суммы соответственно.

Расходы на ведение дела - 0,10 руб. на 100 руб. страховой суммы. Прибыль – 10%, резерв предупредительных мероприятий – 5% брутто-ставки.

2. Рассчитайте стоимость полиса по добровольному медицинскому страхованию (программа «Стоматология»), используя следующие данные:

Вид обращения	Число обращений на 1000 чел.
Пломбирование	100
Протезирование	5

Планируемая численность застрахованных – 500 человек.

Стоимость одного посещения, связанного с пломбированием –150 руб., протезированием – 500 руб. Среднее число посещений 3 и 1, максимальное – 5 и 2 соответственно по пломбированию и протезированию. Нагрузка – 20% брутто-ставки.

3. Рассчитайте брутто-ставку по имущественному страхованию, используя следующие данные:

- количество заключенных договоров страхования – 200;

- экспертная оценка вероятности наступления страхового события – 0, 03;

- средняя страховая сумма – 60000 руб.;

- среднее страховое возмещение – 20000 руб.;

- доля нагрузки в структуре страхового тарифа – 30%;

- вероятность непревышения возможных возмещений над собранными взносами – 0,90;

- данные о вероятных отклонениях страхового возмещения при наступлении страхового случая отсутствуют.

Нагрузка составляет 20%.

4. Рассчитайте брутто-ставку по имущественному страхованию, используя исходные данные задачи № 3, при условии, что средний разброс страхового обеспечения составляет – 6000 руб.

5. В чем преимущества и недостатки актуарных расчетов при помощи таблицы смертности и при помощи таблицы коммутационных чисел?

6. Какие факторы внешней среды должен учитывать страховщик при установлении нормы доходности? Объясните на примере.

7. Объясните, почему с финансовой точки зрения расторжение договоров страхования крайне невыгодно страховщику.

8. Рассчитайте нетто-ставку на дожитие и на случай смерти, если срок страхования составляет 1 год, норма доходности 15% годовых, возраст застрахованного 40 лет.

9. Рассчитайте тарифную ставку по страхованию жизни. Срок страхования 5 лет. Норму доходности и размер нагрузки задайте самостоятельно.

10. Определите размер страхового взноса при следующих условиях страхования: по истечении 19 лет производятся ежегодные в конце года выплаты ренты в размере 1000 руб. Застрахованный возрастом 20 лет. Нагрузка - 10%. Как изменится страховой платеж, если рента будет выплачиваться в размере 100 руб. ежемесячно?

11. Заключен договор страхования дополнительной пенсии с условием выплат в начале каждого периода выплат. Определите размер страхового платежа для застрахованного 22 лет, если выплаты будут производиться, начиная с 40 лет. Размер пенсии, нагрузку, период выплаты задайте самостоятельно.