Метод Дэвидона.

Этот метод является аналогом метода кубической аппроксимации в задачах поиска минимума функции нескольких переменных по заданному направлению. Идея метода заключается в том, чтобы на ТИЛ найти аппроксимирующий минимум строя полином 3-го порядка.

Начальный этап:

1. Взять ε, х ₀ – начальную точку поиска, p – направление поиска.

2. Найти начальный шаг α₁ = min{ η,|(y₁-y’)/y’₁|}, где η=1,2. y₁=y(x₁), y’₁ =y’(x₁,p)

3. Получить начальный интервал поиска [a,b] методом Свенна 4.

Основной этап:

1. Найти аппроксимирующий минимум, т.е. точку r по формулам:

r = a+α_r *p

α_r = α _a +γ*( α _b - α_a )

γ=(z-f’_a+W)/(f’_b-f’_a+2*W)

W=√z²-f’_a*f’_b

z=f’_a+f’_b+3*(f_a-f_b)/(b-a)

2. Проверить КОП если Y’r<=ε, то остановиться.X= a+ α_r *p Иначе сократить ТИЛ двумя способами:

Y’r<0 -> [r,b]

Y’r>0 -> [a,r]

Установить k=k+1 и вернуться на шаг 1.

Можно модифицировать алгоритм – ввести смещение точек на α₀ .

Текст программы:

#include <windows.h>

#include <iostream>

#include <conio.h>

using namespace std;

//Структуры

struct Dot { double x1,x2; };

struct Vek { double x1,x2,len; };

Dot x;

Vek p;

//Целевая функция

double f(double k) {

return (x.x1+k*p.x1)*(x.x1+k*p.x1)+3*(x.x2+k*p.x2)*(x.x2+k*p.x2)+2*(x.x1+k*p.x1)*(x.x2+k*p.x2); }

//Производная целевой функции

double df(double k) {

return (2*(x.x1+k*p.x1)+2*(x.x2+k*p.x2))*p.x1+(6*(x.x2+k*p.x2)+2*(x.x1+k*p.x1))*p.x2; }

//Метод Свенна

void swann(double* a,double* b) {

cout<<"свен\n";

double h1,x1;

h1=0.01;

x1=h1;

if(f(0)<f(x1)) {

h1=-h1;

x1=h1; }

do {

h1=2*h1;

x1=x1+h1;

cout<<"x1= "<<x1<<" h1= " <<h1<<"\n"; }

while(f(x1-h1)>f(x1));

*a=x1-1.5*h1;

*b=x1;

cout<<"a= "<<*a<<" b= "<<*b<<"\n"; }

//Метод золотого сечения 2

double zs_2(double a,double b) {

cout<<"\nЗолотое сечение\n";

double x1,x2;

int k=0;

double con =(sqrt(5.0)-1)/2;

x1=a+con*fabs(b-a);

do {

x2=a+b-x1;

if((x1<x2)&&(f(x1)<f(x2)))

b=x2;

if((x1<x2)&&(f(x1)>=f(x2))) {

a=x1;

x1=x2; }

if((x1>x2)&&(f(x1)<f(x2)))

a=x2;

if((x1>x2)&&(f(x1)>=f(x2))) {

b=x1;

x1=x2;}

cout<<"альф= "<<((a+b)/2)<<"\n";

k++; }

while(k<10);

return (a+b)/2; }

//Метод Дэвидона

double david() {

int k=1;

double e=0.0001,dfun,a,b,h,r,z,w;

dfun=df(0);

h=0.000001;

if(dfun>0) {

p.x1=-p.x1;

p.x2=-p.x2;

dfun=df(0); }

do {

h=h+2*h; }

while(dfun*df(h)<0);

a=h/3;

b=h;

do {

z=df(a)+df(b)+3*(f(a)-f(b))/(b-a);

w=sqrt(z*z-df(a)*df(b));

r=(w-df(a)+z)/(2*w-df(a)+df(b));

r*=(b-a);

if(df(r)<=e) return r;

if(df(r)>0) b=r;

else a=r; }

while(k<10);

return r; }

void main() {

SetConsoleOutputCP(1251);

double a,b,n,kmin;

Dot min;

cout<<"Введите координаты точки начала поиска x1 x2: "<<"\n";

cin>>x.x1>>x.x2;

cout<<"\nЗадайте направление поиска: "<<"\n";

cin>>p.x1>>p.x2;

p.len=sqrt(p.x1*p.x1+p.x2*p.x2);

p.x1=p.x1/p.len;

p.x2=p.x2/p.len;

p.len=1;

swann(&a,&b);

if(a>b) {n=a;a=b;b=n; }

kmin=zs_2(a,b);

x.x1=x.x1+kmin*p.x1;

x.x2=x.x2+kmin*p.x2;

cout<<"\nПриближение минимума методом золотого сечения 2 = ["<<(x.x1)<<" : "<<(x.x2)<<"]\n";

kmin=david();

min.x1=x.x1+kmin*p.x1;

min.x2=x.x2+kmin*p.x2;

cout<<"\nТочка минимума: ("<<min.x1<<" "<<min.x2<<")"<<"\n\n";

_getch(); }

Спецификация программы.

В программе приведены два метода поиска – это линейный метод поиска, модифицированный для функций нескольких переменных, метод Золотого сечения 2. Также приведен метод Дэвидона – кубической аппроксимации для функций нескольких переменных.

x - точка

p – направление поиска

k – колличество шагов

e - точность

a – левая граница отрезка

b – правая граница отрезка

len - норма

Результаты тестирования различных методов

Ниже приведены таблицы с результатами работы программы для двух функций, с различными стартовыми точками и точностями вычисления.

Точность:		0.0001		0.00001		0.000001
X0=(1,1)	К	X*	K	X*	K	X*
Метод Золотого сечения 2	22	(0.255816; -0.116276)	33	(-0.255813; -0.11628)	31	(0.255814; -0.116279)
Метод Дэвидона	1	(0.255814; -0.116279)	1	(0.255814; -0.116279)	1	(0.255814; -0.116279)