Критерий оптимальности.
Теорема
1.
Условие
(4)
достаточно, а в случае невырожденности
базисного плана и необходимо для его
оптимальности.
Доказательство.
Достаточность.
Пусть
выполняется условие (4). Так как
,
то из формулы приращения
или
,
это означает, что
– оптимальный план задачи. Необходимость.
Пусть
известно, что
– оптимальный базисный план, причем
невырожденный для задачи (1), тогда
(5)
Предположим противное, что условие (4) не выполняется. Следовательно, существует
(6)
По
базисному плану
будем строить вектор
,
где вектор приращения
выберем следующим образом.
Положим,
что
(7)
Выберем
,
чтобы выполнялось соотношение (2), то
есть
(8)
Вектор
в силу (2) при любом
удовлетворяет основным ограничениям
(1):
.
Очевидно, компоненты
удовлетворяют прямым ограничениям
задачи (1). Имеем
(9)
Поскольку
выполняется условие (5), можно подобрать
положительным, что будут выполняться
прямые ограничения
,
тогда для найденного
получаем,
является планом задачи. Но подстановка
его в (3) приводит к неравенству:
.
Следовательно,
.
Это противоречит оптимальности базисного
плана
,
что и доказывает необходимость.
Достаточное условие неограниченности. Алгоритм обратной м-цы.
Предположим, что на базисном плане не выполняется условие (4), тогда справедлива следующая теорема.
Теорема
2. Условие
существования
(10)
достаточно
для того, чтобы
.
Доказательство.
Пусть
– базисный план и выполняется условие
(10). Будем строить
,
где вектор приращения
выбираем по формулам
(7)
и
(8). Тогда из
(9)
видно, что для
.
Это
означает, что для любого неотрицательного
,
будет планом и задачи (1), а из формулы
приращения
(3), тогда имеем
(11)
то есть с ростом целевая функция будет неограниченно возрастать, оптимального плана задачи не будет и . Ч.т.д.
Выберем
некоторый номер
и вектор
,
Лемма.
Числа
являются коэффициентами разложения
вектора
по базису в
составленному из векторов
(его координаты в этом базисе).
Доказательство.
(12)
Алгоритм обратной матрицы
При практическом использовании реализуется различные модификации симплекс метода: табличный, мультипликативный и так далее. Для реализации на ЭВМ наиболее удобна следующая:
1.
Пусть дана каноническая задача со своими
параметрами
и пусть известна начальная обратная
базисная матрица
(обычно
и тогда
).
2.
Вычисляем начальный базисный план: из
основных ограничений
получаем
;
3.
Строим вектор оценок базисного плана,
используя (3):
;
4.
Проверяем критерий оптимальности
(4). Если он выполняется, то записываем
ответ
– оптимальный базисный план, вычисляем
.
Если (4) не выполняется, то переходим к
пункту 5;
5. Проверяем достаточное условие неограниченного роста (10): если оно выполняется, то записываем ответ (оптимального плана нет, целевая функция неограниченно растёт на ), если не выполняется, то переходим к пункту 6;
Совершаем итерацию:
6.1.
Находим
6.2.
Находим
6.3.
Находим
6.4.
Строим
по формулам:
6.5.
.
И возвращаемся в пункт 2.
В этом алгоритме основную роль играет и лишь она на итерациях пересчитывается.