Оценка точности вычисления среднего квадратического отклонения генеральной совокупности по данным выборки.
На практике иногда необходимо найти неизвестное среднее квад-ратическое отклонение генеральной совокупности σ0 по среднему квадратическому отклонению s малой выборки, когда ее объем n < 25. Для малых выборок s вычисляется по формуле
,
где в отличие от формулы (11), приведенной в лекции 1, в знаменателе берется (п— 1), для того чтобы компенсировать систематическую ошибку, возникающую при оценке σ0 по s при малом числе n.
Эта
задача сводится к определению вероятности
α приближенного равенства
,
точность которого равна ε:
.
(13)
Если известно, что случайная величина х в генеральной совокупности подчинена нормальному закону распределения, то величина
имеет
распределение, которое носит название
-распределения.
Дифференциальная функция этого
распределения или плотность вероятности
величины
имеет выражение
при χ > 0.
При помощи этой функции -распределения можно вычислить и вероятность α:
.
Для этой цели, полагая, что s - ε > 0, преобразуем находящееся в скобках неравенство следующим образом:
.
Умножим
полученное неравенство на положительное
число
.
Обозначив
и
,
получим
или
.
Вероятность этого неравенства равна интегралу
.
(14)
Но левая часть этого уравнения есть преобразованное выражение вероятности
.
Следовательно, можно написать
(15)
или
.
(16)
Значения интеграла L(qs, k) приведены в таблице приложения 2.
Таким образом, по таблице приложения 2 можно определить вероятность α, т. е. вероятность того, что отклонения σ0 от s не превосходят ε = qss.
Необходимо заметить, что если s < ε, то исходное неравенство для σ0
надо заменить неравенством
,
так как величина σ0 должна быть положительной. В этом случае неравенство для χ примет вид
и вероятность его будет определяться интегралом
.
Значения этого интеграла также приведены в приложении 2. При помощи таблицы значений вероятностей L(qs, k) (см. приложение 2) можно решать задачи трех типов:
1) по заданной точности ε = qss и объеме выборки n определить вероятность α приближенного равенства ;
2) по заданной вероятности α приближенного равенства и объеме выборки п определить точность ε = qss этого равенства;
3) по заданной точности ε и вероятности α приближенного равенства определить необходимый объем n выборки.
Пример 4. По выборке объема п = 15 вычислено среднее квадратическое отклонение n = 0,6. Определить вероятность α приближенного равенства при точности ε = 0,12. По таблице приложения 2 для
k
= n
- 1 = 15 - 1 = 14 и
находим
α = 0,701;
P(0,6—0,12 < σ0 < 0,6 + 0,12) = 0,701;
P(0,48 < σ0 < 0,72) = 0,701.
Пример 5. Определить точность ε приближенного равенства с вероятностью α = 0,96, если п = 15 и s = 0,12. По таблице приложения 2 находим для k = 15 - 1 = 14 и α = 0,96 qs = 0,5.
Следовательно,
ε = qss = 0,5 0,12= 0,06;
σ0 = s ± ε = 0,12±0,06
или
0,06 < σ0 < 0,18.
Пример 6. Определить n, при котором s будет отличаться от σ0 на ±0,2 с вероятностью α = 0,96:
ε = qss = 0,2s; qs = 0,2.
По таблице приложения 2 при (qs = 0,2 и α = 0,96 находим k = 60. Но k = = n — 1, следовательно,
n = k+1 = 60+1 = 61.
Рассмотренная
методика оценки приближенного равенства
действительна для того случая, когда
случайная величина х
распределена
в генеральной совокупности по нормальному
закону. Если же распределение х
в
генеральной совокупности отличается
от нормального, то определение неизвестного
его среднего квадратического отклонения
возможно более или менее точно в
большинстве случаев только при большом
числе наблюдений. Именно, в этом случае
можно с большой вероятностью полагать,
что среднее квадратическое отклонение
генеральной совокупности σ0
отличается от выборочного s
не более чем на
.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица
значений
,
для которых вероятность
k |
вероятность |
||||
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
|
1 |
6,31 |
12,71 |
31,82 |
63,66 |
636,2 |
2 |
2,02 |
4,30 |
6,97 |
9,93 |
31,60 |
3 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
12,94 |
4 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
8,61 |
5 |
2,02 |
2,57 |
3,37 |
4,03 |
6,86 |
6 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,70 |
5,96 |
7 |
1,90 |
2,37 |
3,00 |
3,50 |
5,40 |
8 |
1,86 |
2,30 |
2,90 |
3,36 |
5,04 |
9 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,78 |
10 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
4,59 |
11 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
4,49 |
12 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,06 |
4,32 |
13 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
4,22 |
14 |
1,76 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
4,14 |
15 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
4,07 |
16 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
3,92 |
4,02 |
17 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
3,97 |
18 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,92 |
19 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,88 |
20 |
1,72 |
2,09 |
2,53 |
2,85 |
3,85 |
21 |
1,72 |
2,08 |
2,52 |
2,83 |
3,82 |
22 |
1,72 |
2,07 |
2,51 |
2,82 |
3,79 |
23 |
1,71 |
2,07 |
2,50 |
2,81 |
3,77 |
24 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,80 |
3,75 |
25 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,79 |
3,72 |
26 |
1,71 |
2,06 |
2,48 |
2,78 |
3,71 |
27 |
1,70 |
2,05 |
2,47 |
2,77 |
3,69 |
28 |
1,70 |
2,05 |
2,47 |
2,76 |
3,67 |
29 |
1,70 |
2,05 |
2,46 |
2,76 |
3,66 |
30 |
1,70 |
2,04 |
2,46 |
2,45 |
3,65 |
40 |
1,68 |
2,02 |
2,42 |
2,70 |
3,55 |
60 |
1,67 |
2,00 |
2,39 |
2,66 |
6,46 |
120 |
1,66 |
1,98 |
2,36 |
2,62 |
3,37 |
|
1,65 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
3,29 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица вероятностей
k |
|
|||||||||||||||||
0,10 |
0,15 |
0,20 |
0,25 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0.60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
1,25 |
1,50 |
1,75 |
2,00 |
2,50 |
3,00 |
|
6 |
0,264 |
0 388 |
0,501 |
0,599 |
0,681 |
0,791 |
0,849 |
0,886 |
0,913 |
0,933 |
0,948 |
0,959 |
0,978 |
0,987 |
0,992 |
0,995 |
0,998 |
0,999 |
8 |
305 |
444 |
567 |
669 |
748 |
845 |
895 |
926 |
948 |
963 |
974 |
981 |
991 |
996 |
998 |
999 |
1,000 |
1,000 |
10 |
340 |
491 |
620 |
722 |
797 |
882 |
925 |
961 |
968 |
979 |
986 |
991 |
997 |
999 |
999 |
1,000 |
— |
— |
12 |
371 |
532 |
664 |
764 |
833 |
900 |
946 |
968 |
980 |
988 |
993 |
996 |
999 |
1,000 |
1,000 |
— |
— |
— |
14 |
399 |
567 |
701 |
798 |
862 |
929 |
960 |
978 |
988 |
993 |
996 |
998 |
999 |
— |
— |
— |
— |
— |
16 |
425 |
599 |
733 |
826 |
885 |
944 |
971 |
985 |
992 |
996 |
998 |
999 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
18 |
448 |
627 |
760 |
849 |
903 |
955 |
980 |
990 |
996 |
998 |
999 |
999 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
20 |
470 |
652 |
784 |
868 |
918 |
964 |
984 |
993 |
997 |
999 |
999 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
25 |
518 |
706 |
832 |
905 |
944 |
979 |
992 |
997 |
999 |
1,000 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
30 |
559 |
749 |
867 |
930 |
962 |
988 |
996 |
999 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
35 |
597 |
787 |
893 |
944 |
969 |
990 |
997 |
999 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
40 |
628 |
815 |
913 |
957 |
978 |
994 |
999 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
45 |
657 |
840 |
929 |
967 |
984 |
996 |
999 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
50 |
682 |
860 |
942 |
974 |
993 |
998 |
999 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
60 |
726 |
893 |
960 |
984 |
996 |
999 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
70 |
762 |
917 |
972 |
990 |
998 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
80 |
792 |
935 |
980 |
994 |
999 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
90 |
818 |
949 |
986 |
996 |
999 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
100 |
840 |
959 |
990 |
997 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
150 |
914 |
986 |
998 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
200 |
951 |
995 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
250 |
972 |
998 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
500 |
998 |
1,000 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
1000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
