В. 6. Замечательные пределы

Первым замечательным пределом является:

Вторым замечательным пределом является:

где е  2,718281…– число Эйлера, которое является основанием для натуральных логарифмов. Этот предел имеет записи:

е или е.

Пример 2. Найти а) ; б)

Решение. а) Так как (первый замечательный предел), то .

Следовательно, = Ответ: .

б) Для раскрытия подобных неопределенностей используется первый замечательный предел:

Пример 3.

Пример 4.

В.7. Непрерывность функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. она определена в точке х₀,, т.е. существует f(х₀);

2. она имеет конечный предел функции при х  х₀ ( );

3. этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е.

Пример 6. А) Функция в точке х = 0 не является непрерывной (нарушено 1-е условие).

Б) Функция, заданная выражением: в точке х = 0 не является непрерывной из-за отсутствия предела при х  0, хотя существуют пределы слева и справа (нарушено 2-е условие).

В) - не является непрерывной, т.к. нарушено 3-е условие.

Г) Функция y = x² является непрерывной в точке х = 0.

y 1_ x 1_

Непрерывность функции f(x) в точке х₀ можно записать и так:

т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Другое определение непрерывности: функция y = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Оба определения равносильны.

Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция в данной точке не является непрерывной. Существует две разновидности точек разрыва.

Точка разрыва 1-го рода: существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х  х₀, не равные друг другу.

В качестве примера можно указать точку х = 0 для функции .

Точка разрыва 2-го рода: хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

В качестве примера можно указать точку х = 0 для функции .

Свойства функций непрерывных в точке:

1. Если функции f(x) и  (х) непрерывны в точке х₀, то их сумма f(x) + (х), произведение f(x)  (х) и частные ((х)  0) являются функциями, непрерывными в точке х_0.

2. Если функция y = f(x) непрерывна в точке х₀ и f(x₀) > 0, то существует такая окрестность точки x₀, в которой и f(x) > 0.

3. Если функция y = f(u) непрерывна в точке u₀ и f(x₀) > 0, а функция u = (х) непрерывна в точке х₀, то сложная функция y = f[(х)] непрерывна в точке х₀ .

Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

2. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.

3. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и ее значения на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка   (a, b) такая, что f()=0.