
- •2. Базовые понятия статистики
- •2.1. Генеральная совокупность и выборка
- •2.2. Способы представления и обработки статистических данных
- •2.3. Вычисление выборочных характеристик
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения и задачи
- •3. Статистические выводы: оценки и проверка гипотез
- •3.1. Точечные оценки и их свойства
- •3.2. Свойства выборочных оценок
- •3.3. Интервальные оценки
- •3.3.1. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной св при известной дисперсии
- •3.3.2. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной св при неизвестной дисперсии
- •3.3.3. Доверительный интервал для дисперсии нормальной св
- •3.4. Статистическая проверка гипотез
- •3.4.1. Основные понятия
- •3.4.2. Критерии проверки. Критическая область
- •3.5. Примеры проверки гипотез
- •3.5.1. Проверка гипотезы о математическом ожидании нормальной св при известной дисперсии
- •3.5.2.Проверка гипотезы о математическом ожидании нормальной св при неизвестной дисперсии.
- •3.5.3. Проверка гипотезы о величине дисперсии нормальной св
- •3.5.4Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных св при известных дисперсиях
- •3.5.5.Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных св при неизвестных дисперсиях
- •3.5.6. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных св
- •3.5.7. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции
- •Вопросы для самопроверки
- •Упражнения и задачи
- •4. Парная линейная регрессия
- •4.1. Взаимосвязи экономических переменных
- •4.2. Суть регрессионного анализа
- •4.3. Парная линейная регрессия
- •4.4. Метод наименьших квадратов
- •Вопросы для самопроверки
3.5.5.Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных св при неизвестных дисперсиях
Более реалистичным по сравнению с предыдущим является случай, когда дисперсия рассматриваемых СВ неизвестны.
Пусть
X~N(
и Y~N(
,
причем их дисперсии
неизвестны. Выдвигается гипотеза о
равенстве математических ожиданий:
При этих условиях в качестве критерия проверки Ho принимают СВ T:
(3.17)
где
n,k
– объемы выборок
и
соответственно;
При
справедливости Ho
построенная T
имеет t-распределение
Стъюдента с
степенями свободы.
1)При
с помощью таблицы критических точек
распределения Стъюдента (приложение
2) по заданному уровню значимости α
и числу степеней свободы
определяются критические точки
и
двусторонней
критической области.
Если
- нет оснований для отклонения Ho.
Если
– Ho
отклоняется в пользу
2)При
находят критическую точку
правосторонней критической области.
Если
- нет оснований для отклонения Ho.
Если
– Ho
отклоняется в пользу
3)При
находят критическую точку левосторонней
критической области
Если
- нет оснований для отклонения Ho.
Если
– Ho
отклоняется в пользу
Пример 3.5.В университете проведен анализ успеваемости среди студентов и студенток за последние 25 лет. СВ X и Y – соответственно их суммарный балл за время учебы. Получены следующие результаты:
Можно
ли утверждать, что девушки в среднем
учатся лучше ребят? Приyять
α=0,05.
Для ответа на данный вопрос фактически необходимо проверить следующую гипотезу:
Ho=M(X)=M(Y);
По формуле (3.17) строим статистику T с учетом, n=k=25:
Поскольку
,
то Ho
должна быть отклонена в пользу
,
что дает основание утверждать, что в
данном университете девушки в среднем
учатся лучше ребят.
3.5.6. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных св
Зачастую при сравнении двух экономических показателей на первый план выходит анализ разброса значений рассматриваемых СВ. Например, при решении вопроса об инвестировании в одну из двух отраслей остро стоит проблема риска вложений. При сравнении уровней жизни в двух странах среднедушевые доходы могут оказаться приблизительно равными. Сопоставив разброс в доходах, мы получаем более точное представление о них. Анализ, аналогичный описанному выше, целесообразно проводить путем сравнения дисперсий исследуемых СВ.
Пусть X~N( ) и Y~N( , причем их дисперсии и неизвестны. Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий и :
По
независимым выборкам
и
объемов
т и k
соответственно определяются
(для
определенности
пусть
,
в противном случае эти величины можно
переобозначить).
В качестве критерия проверки Ho принимают СВ
(3.18)
определяемую
отношением большей исправленной
выборочной дисперсии к меньшей. Если
Н0
верна,
то данная статистика F
имеет
-распределение Фишера c
степенями
свободы.
1)При
по таблицам критических точек распределения
Фишера (приложение 4 ) по уровню значимости
α и числам степеней свободы
определяется критическая точка
-
нет оснований для отклонения Ho.
Если
-
Ho
отклоняется в пользу
2)При
определяется критическая точка
Если
- нет основания для отклонения Ho.
Если
– Ho
отклоняется в пользу
Заметим, что при проверке гипотезы о равенстве дисперсий в качестве альтернативной гипотезы в большинстве случаев используется гипотеза
Пример 3.6.В условиях примера 3.5 определите, есть ли основания считать, что дисперсии двух СВ X и Y существенно отличаются друг от друга (т.е. разброс оценок у студентов больше, чем у студенток).
Из условий задачи строится следующая гипотеза:
Для
проверки гипотезы по формуле (3.18)
определяется статистика
Критическая
точка распределения Фишера
Поскольку
,
то Ho
должна быть отклонена в пользу
,
и имеются основания считать, что разброс
в оценках у студентов данного университета
существенно больше разброса в оценках
у студенток.