3.5.3. Проверка гипотезы о величине дисперсии нормальной св

Принятие того или иного решения в экономике часто связа­но с анализом возможных результатов, точнее, разброса возмож-­

ных результатов. Например, при покупке акций какой-либо компании весьма важно оценить риск от такого вложения, ко­торый определяется рассеиванием годовых дивидендов по дан­ным акциям за продолжительный период времени. Такую оценку можно осуществлять на базе анализа дисперсии СВ — размера дивидендов. Следовательно, при изучении многих эко­номических проблем приходится иметь дело с выдвижением и проверкой гипотез о величине дисперсии. Одной из самых рас­пространенных является гипотеза о величине дисперсии нор­мальной СВ.

Пусть СВ X~N(m, );m и неизвестны. Проверяется гипотеза о равенстве дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности X гипотетическую (предполагаемому) значению . Тогда:

Для проверки извлекается выборка объема n: вычисляются выборочное среднее , исправленная выборочная дисперсия Тогда критерий проверки имеет вид:

При справедливости построенная статистика имеет – распределение с степенями свободы.

1)При по таблице критических точек - распределения (приложение 3) по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы находят критические точки и двусторонней критической области.

Если – нет оснований для отклонения

Если – отклоняется в пользу .

2)При определяют критическую точку правосторонней критической области.

Если нет оснований для отклонения Ho.

Если –Ho отклоняется в пользу .

3)При находят критическую точку левосторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения Ho.

Если - Ho отклоняется в пользу

Пример 3.4.Точность работы станка-автомата, заполняющего пакеты порошком, определяется совпадением веса пакетов. Дисперсия веса не должна превышать 25(г . По выборке из 20 пакетов определяется исправленная дисперсия

Определите, требуется ли срочная подналадка станка. Принять α=0,05.

Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы, соответствующие условию задачи :

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия в соответствии с (3.15):

Так как , то нет оснований для отклонения Ho. Другими словами, имеющиеся данные не дают основания считать, что станок требует срочной подналадки.

3.5.4Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных св при известных дисперсиях

При анализе многих экономических показателей приходится сравнивать две генеральные совокупности. Например,

можно сравнивать уровни жизни в двух странах по размеру дохода на душу населения; можно сравнивать два варианта инвестирования по размерам средних дивидендов; качество знаний студентов двух университетов – по среднему баллу на комплексном тестовом экзамене. В этих случаях логично провести сравнение по схеме анализа равенства математических ожиданий двух генеральных совокупностей X и Y.

Пусть X~N( ) и Y~N( ), причем их дисперсии и известны (например, из предшествующих наблюдений или определены теоретически). По двум выборкам и объемов n и k соответственно необходимо проверить гипотезу M(X)=M(Y), т.е.

,

В качестве критерия проверки Ho принимается СВ U:

При справедливости Ho СВ U~ N(0,1).

1)При по таблице функции Лапласа (приложение 1 ) определяют две критические точки и из условий:

Если - нет оснований для отклонения Ho.

Если – Ho отклоняется в пользу .

2)При критическую точку правосторонней критической области находят из неравенства .

Если - нет оснований для отклонения Ho.

Если – Ho отклоняется в пользу .

3) При критическая точка левосторонней критической области определяется из соотношения .

Если - нет оснований для отклонения Ho.

Если – Ho отклоняется в пользу