3.5. Примеры проверки гипотез

Рассмотрим применение общей схемы проверки гипотез к конкретным задачам проверки гипотез о математическом ожи­дании, дисперсии, коэффициенте корреляции, часто встречаю­щимся в эконометрическом анализе. Для каждой из этих гипо­тез конкретизируем выбор статистики (критерия) и определение критической области.

3.5.1. Проверка гипотезы о математическом ожидании нормальной св при известной дисперсии

Пусть генеральная совокупность X распределена нормаль­но, причем ее математическое ожидание m неизвестно, а дис­персия известна. Также есть основания предполагать, что . Тогда

Для проверки извлекается выборка объема и в качестве критерия строится статистика

(3.13)

где . Доказано, что если справедлива, то статистика U имеет стандартизированное нормальное распределение (U~N(0,1)).

1)Пусть в качестве альтернативной рассматривается гипотеза Тогда критические точки и будут определяться по таблице значений функции Лапласа (приложение 1) из условия Ф

Если – нет оснований для отклонения .

Если - гипотеза отклоняется в пользу альтернативной гипотезы .

2)При критическую точку правосторонней критической области находят из равенства Ф(

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняют в пользу .

3)При критическая точка

Если - нет оснований для отклонения

Если - отклоняют в пользу

Пример 3.2. В условиях примера 3.1 проверить гипотезу M(X)= 250 г при уровне значимости α=0,05. Если данное утверждение неверно, то станок-автомат требует подналадки.

По формуле (3.13) по данным выборки строим статистику

. В данном случае используется двусторонняя кри-

тическая область. По таблице функции Лапласа найдем критическую точку Так как то должна быть отклонена в пользу . Это свидетельство о том, что станок требует подналадки. Аналогичный ответ можно получить, используя интервальную оценку (240,8; 247,92), найденную в примере 3.1. Если гипотетическое значение 250 не принадлежит данному интервалу, то обоснован вывод о ложности гипотезы

3.5.2.Проверка гипотезы о математическом ожидании нормальной св при неизвестной дисперсии.

Пусть генеральная совокупность X имеет нормальное распределение, причем ее математическое ожидание m и дисперсия неизвестны. Данная ситуация более реалистична по сравнению с предыдущей. Пусть есть основания утверждать, что m= . Тогда строятся следующие гипотезы:

Для проверки извлекается выборка объема n: вычисляются выборочное среднее и исправленная выборочная дисперсия , которой соответствует стандартное отклонение . Далее строится следующая t-статистика :

(3.14)

Имеющая при справедливости распределение Стъюдента с ν=

степенями свободы. Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы так же, как и в разделе 3.5.1.

1)При по таблице критических точек распределения Стъюдента (приложение 2) по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы находятся критические точки и

Если < - нет оснований для отклонения

Если - отклоняют в пользу

2)При определяют критическую точку правосторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения

Если - отклоняется в пользу

3)При определяют критическую точку –левосторонней критической области.

Если - нет оснований для отклонения .

Если - отклоняется в пользу

Пример 3.3. Анализируется доход X фирм в отрасли, имеющий нормальное распределение. Предполагается, что средний доход в дан­ной отрасли составляет не менее 1 млн $. По выборке из 49 фирм полу­чены следующие данные: = 0,9 млн $ и S =(0,15 млн $. Не противо­речат ли эти результаты выдвинутой гипотезе при уровне значимости a = 0,01?

Для проверки гипотезы строим критерий

Критическую точку левосторонней критической области определяем по таблице критических точек распределения Стъюдента

Поскольку , то должна быть отклонена в пользу , что дает основание считать, что средний доход в отрасли меньше, чем 1 млн $.