Модулирование цифровых сигналов

Назначение операции модулирования любых сигналов заключается в согласовании передаваемых информационных сигналов по каналу связи с самим каналом, чтобы характеристики передаваемого сигнала соответствовали характеристикам канала.

Модель канала, который связывает передающее устройство с приемным устройством при передаче цифровых сигналов, всегда можно представить в виде эквивалентной линейной электрической цепи в виде четырехполюсника, состоящего только из линейных элементов.

Проводной канал представляет собой длинную линию с распределенными параметрами. Эквивалентная схема четырехполюсника, отражающая все особенности реальной схемы, представляет собой каскадное соединение элементарных звеньев, состоящих из элементов (емкости и индуктивности). С другой стороны схема длинной линии, представленная на рис. 1 есть эквивалентная схема фильтра нижних частот (ФНЧ).

Рис. 1 Эквивалентная схема длинной линии.

В общем случае передаточная функция ФНЧ является комплексной функцией частоты

(1),

где - модуль комплексной функции (АЧХ – фильтра ФНЧ);

- аргумент комплексной функции (ФЧХ фильтра ФНЧ).

Для упрощения дальнейших преобразований примем, что ФНЧ является идеальным. Частотные характеристики идеального ФНЧ изображены на рис. 2. Сплошной линией обозначена зависимость модуля функции от частоты , а пунктирной линией – зависимость аргумента от частоты .

Рис. 2 АЧХ и ФЧХ идеального ФНЧ.

С целью упрощения преобразований будем считать угол , характеризующий наклон прямой , равным нулю. Тогда прямая пойдет по горизонтальной оси, то есть . Откуда следует, что . В этом случае передаточная функция согласно (1) и графика на рис. 2 будет равна

(2).

Обычно в передающих устройствах цифровые сигналы представляют собой последовательности прямоугольных импульсов, соответствующих последовательностям передаваемых информационных символов. Чтобы выяснить, зачем необходимо согласование цифрового сигнала с модулятором, рассмотрим прохождение одиночного прямоугольного импульса с амплитудой и длительностью (рис. 3) по проводному каналу с частотной характеристикой (рис. 2).

Вначале рассмотрим прохождение информационного сигнала (рис. 3) по проводному каналу без операции модулирования.

Рис. 3 Одиночный прямоугольный импульс.

Сигнал на выходе канала обозначим и определим его форму. Спектральные плотности входного сигнала и выходного сигнала обозначим соответственно через и . Эти две функции связаны равенством, известным из курса теории электрических цепей

(3).

Спектральная плотность одиночного прямоугольного импульса (рис. 3) определяется по формуле

(4)

На графике рис. 4а показан спектр входного сигнала , занимающий бесконечную полосу частот от до , а передаточная функция (2) показана на графике рис. 4в.

Рис. 4 Графики спектральных плотностей и .

График спектральной плотности сигнала (3) определяется как произведение кривых рис. 4а и 4в на интервале значений частот от до , причем , поэтому произведение будет равно . Вне указанного интервала , тогда произведение (3) тоже будет равно нулю. На рис. 4с изображен график , из которого видно, что на выход канала проходят не все частотные составляющие спектра входного сигнала (рис. 4а), а проходят только те, которые попали в полосу пропускания канала на интервале значений частот от до . Форма сигнала на выходе канала отличается от формы сигнала на входе канала. В таком случае говорят, что канал создает искажение переданного сигнала.

Если бы спектральная плотность сигнала имела конечную протяженность по оси частот (финитной) и занимала бы точно полосу пропускания канала от до , тогда искажений сигнала на выходе канала не возникало бы.

Несоответствие между протяженностью полосы пропускания канала и спектра передаваемого по каналу сигнала является причиной искажений. Искажения сигнала заключаются в том, что передаваемый прямоугольный импульс длительностью , с помощью которого передается информационный символ на данном тактовом интервале, на выходе канала «расплывается» во времени и перекрывает соседние тактовые интервалы, на которых передаются прямоугольные импульсы других информационных символов. В результате возникает явление так называемой межсимвольной интерференции или межсимвольной помехи.

Рассмотрим возникновение межсимвольной помехи более подробно.

Выходной сигнал , являющийся сверткой двух сигналов (входного сигнала с импульсной характеристикой канала ), можно точно определить как

(5).

Заменяя свертку (5) на эквивалентный интеграл, можно определить

(6).

Подставляя (2), (4) в (6) и, изменив пределы интегрирования, получим

(7).

Или (8).

Используя формулу , получим

,

после замены переменных интегрирования, обозначив и

, имеем

(9),

где - вещественная функция, известная в литературе под названием «интегральный синус». График функции изображен на рис. 5.

Рис. 5 Интегральный синус.

Функция является нечетной функцией аргумента , поэтому можем продолжить график кривой в область отрицательных значений аргумента .