- •Тема 3. Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування
- •Тема 4. Симплексний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Тема 5: Теорія двоїстості та двоїсті оцінки у лінійному програмуванні
- •Тема 6. Транспортна задача
- •Початковий опорний план
- •Метод північно-західного кута
- •Метод найменшої вартості
- •Метод потенціалів
- •Тема 7.Економічна постановка і математична модель цілочислової задачі лінійного програмування
- •Тема 8. Задачі дробово-лінійного програмування. Основні методи їх розв’язування та аналізу Економічна і математична постановка задачі дробово–лінійного програмування
- •Тема 9. Економічна постановка і математична модель задачі нелінійного програмування
- •Тема 10. Динамічне програмування
- •Тема 11. Теорія ігор
- •Нехай маємо скінченну матричну гру з платіжною матрицею
- •Тема 12. Кількісне оцінювання та управління ступенем ризику
Тема 6. Транспортна задача
Транспортна задача (задача Монжа — Канторовича) — задача про оптимальний план перевезення продукту (-тів) із пунктів відправлення до пунктів споживання. Розробка і використання оптимальних схем вантажних потоків дозволяють знизити витрати на перевезення. ТЗ по теорії складності обчислень є NP-складною або входить в клас складності NP. Коли сумарний обсяг пропозицій (вантажів, наявних в пунктах відправки) не дорівнює загальному обсягу попиту на товари (вантажі), які потрібні пунктам споживання, то транспорта задача називається незбалансованою.
Нехай у пунктах виробляється деякий однорідний продукт, причому обсяг виробництва цього продукту в пункті Ai дорівнює ai одиниць, Зроблений у пунктах виробництва продукт повинен бути доставлений до пунктів споживання причому обсяг споживання в пункті Bj складає bj одиниць продукту. Вважається, що транспортування готової продукції можливе з будь-якого пункту виробництва в будь-який пункт споживання і транспортні витрати, що припадають на перевезення одиниці продукту з пункту Ai в пункт Bj, складають cij грошових одиниць. Задача полягає в організації такого плану перевезень, при якому сумарні транспортні витрати були б мінімальними.
Формально задача ставиться наступним чином. Нехай xij — кількість продукту, що перевозиться з пункту Ai в пункт Bj. Потрібно визначити сукупність з mn величин xij, які відповідають умовам:
і для яких лінійна форма набуває найменшого значення.
Группа обмежень (1)-(2) пов'язана з тою обставиною, що обсяг вивезеного з кожного пункту виробництва продукту в точності дорівнює обсягу виробленого в цьому пункті продукту, а обсяг ввезеного в пункт споживання продукту відповідає його потребі. За цих обмежень необхідною і достатньою умовою для розв'язності транспортної задачі є виконання умови балансу:
Специфічними для транспортної задачі є такі дві обставини:
кожна із змінних xij входить в два рівняння системи (1)-(2),
всі коефіцієнти при змінних xij приймають лише два значення 0 або 1.
Умови 1) і 2) дозволили розробити для вирішення транспортної задачі алгоритми, суттєво більш прості, ніж симплексний метод , що є одним з основних методів вирішення задач лінійного програмування. Найбільш відомими з цих алгоритмів є метод потенціалів і угорський метод.
Метод потенціалів — це метод послідовного покращення плану (перевезень) з використанням другої теореми двоїстості для перевірки оптимальності.
Початковий опорний план
Для початку розв'язування слід визначити початковий опорний план, тобто значення xij, що задовольняють умови (1)-(3), при чому лише щонайбільше n + m + 1 з них є ненульовими і не обов'язково досягається мінімум лінійної функції Найпоширенішими методами пошуку початкових опорних планів є метод північно-західного кута, метод найменшої вартості
Метод північно-західного кута
Виконання починається з верхньої лівої клітини (Північно-західного кута) транспортної таблиці, тобто зі змінної x11.
Крок 1. Змінній x11 присвоюється максимальне значення, що допускається обмеженнями на попит і пропозицію.
Крок 2. Викреслюється рядок (або стовпець) з повністю реалізованою пропозицією (з задоволеним попитом). Це означає, що в викресленою рядку (стовпці) ми не будемо присвоювати значення іншим змінним (крім змінної, визначеної на першому етапі). Якщо одночасно задовольняються попит і пропозиці викреслюється лише рядок або тільки стовпець.
Крок 3. Якщо не викреслено тільки один рядок або тільки один стовпець, процес зупиняється. В іншому випадку переходимо до клітини праворуч, якщо викреслять стовпець, або до клітини знизу, якщо викреслена рядок. Потім повертаємось до першого етапу.