Решение уравнений кинетостатики усложняется, если в механизме имеются избыточные связи.
Увеличение подвижности некоторых кинематических пар (например, заменой вращательных пар цилиндрическими или сферическими (снижения жесткости механической системы).
Условное увеличение подвижности кинематических пар (наличие зазоров во вращательной паре между осью шарнира и его втулкой позволяет рассматривать при расчете эту пару как сферическую).
Введение расчетной схемы, учитывающей упругость звеньев и их соединений. Рассмотрение такой усложненной модели выходит за рамки дисциплины ТММ.
4.4. Применение общего уравнения динамики для силового расчета механизмов
Для любой системы материальных точек с идеальными связями сумма работ всех активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении в любой фиксированный момент времени равна нулю.
Уравнением Даламбера-Лагранжа или общее уравнение динамики:
|
|
M |
|
|
|
|
(PK* Ф*K ) rK |
0 |
(4.25) |
|
|
K 1 |
|
|
P* |
и Ф* |
– активная сила и сила инерции к-й материальной точки, |
|
|
K |
K |
|
|
|
rK – ее возможное перемещение, |
|
|
||
М – число материальных точек в системе. |
|
|
||
|
Для произвольной точки звена имеем |
|
|
|
|
|
rk rO δφ ρk , |
|
(4.26) |
где rO – возможное перемещение полюса O, δφ – вектор бесконечно малого поворота, ρk – радиус-вектор
точки Ak.
Подставив (4.26) в (4.25), находим
|
M |
|
|
|
|
|
(Pk* Φ*k )( rO ρk ) |
||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
M |
|
M |
|
|
|
|
(Pk* Φ*k ) rO ρk (Pk* Φ*k ) (4.27) |
|||
Рис. 4.10 |
k 1 |
|
k 1 |
|
|
(P |
Φ ) r |
(M(P) M( ) ) . |
|||
|
|||||
|
|
O |
.O |
O |
|
140
Здесь P и Φ – главные векторы, а МO(Р) и МO( ) – главные моменты актив-
ных сил и сил инерции звена.
Складывая выражения (4.27) для всех подвижных звеньев:
N |
|
P |
|
|
0, |
(4.28) |
Pi Φi rOi MOi |
MOi |
i |
||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
где N – число подвижных звеньев. Необходимо отметить, что каждое из выражений (4.27) в отдельности нулю не равно, поскольку не равна нулю работа сил реакций, действующих на каждое отдельное звено.
Если механизм имеет w степеней свободы и q1, …, qw – его обобщенные координаты, то
w |
r |
w |
|
i qs. |
(4.29) |
rOi |
Oi qs ; |
i |
|
||
s 1 |
qs |
s 1 |
qs |
|
|
Подставляя (4.29) в (4.28) и используя независимость вариаций обобщенных координат qs, получаем следующую систему уравнений:
N |
|
Φi ) |
rOi (MOi(P) MOi( ) ) |
|
0,(s 1,..., w) . |
(4.30) |
(Pi |
i |
|||||
i 1 |
|
|
qs |
qs |
|
|
Для механизма с одной степенью подвижности система (4.30) сводится к одному уравнению
N |
|
|
|
0. |
(4.31) |
(Pi |
Φi ) drOi (MOi(P) MOi( ) ) d i |
||||
i 1 |
|
dq |
dq |
|
|
Поскольку в этом случае drOi dq vOi q, |
d i dq ωi |
q , где |
vOi |
– скорость |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
точки 0i, уравнение (4.31) записывается также в форме |
|
|
|
|
|||
N |
(P) |
( ) |
|
0. |
|
(4.32) |
|
(Pi |
Φi )vOi (MOi |
MOi |
)ωi |
|
|||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что сумма возможных мощностей всех активных сил и сил инерции в любой момент времени равна нулю для механизма с одной степенью подвижности при идеальных кинематических парах.
141
Определение движущих сил.
Выделим обобщенные движущие силы из прочих активных сил:
w |
N |
|
(PC ) |
( ) |
|
0, |
Qs qs Pci Φi rOi MOi |
MOi |
i |
||||
S 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
Pci – главный вектор всех активных сил, приложенных к i–му звену
MOi(PC ) – главный момент этих сил. Получаем уравнения, аналогичные (4.30):
N |
|
rOi (MOi(PC ) MOi( ) ) |
|
0,(s 1,..., w) . |
Qs (Pci Φi ) |
i |
|||
i 1 |
|
qs |
qs |
|
Для механизма с одной степенью подвижности из (4.31) находим:
N |
|
|
|
Q (Pci Φi ) drOi (MOi(PC ) MOi( ) ) d i . |
|||
i 1 |
|
dq |
dq |
(4.33)
(4.34)
(4.35)
Пример Уравнение Даламбера-Лагранжа для механизма кривошипно-ползуного ме-
ханизма
y |
A |
2 |
|
|
|
|
Ф2 |
|
|
||
Q |
1 |
S2 |
|
|
|
|
M S( 2 ) |
|
|
|
|
O |
x |
B |
3 |
Р Ф3 |
|
|
G2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
G1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
G3 |
|
|
|
Рис. 4.4 |
|
|
|
Q G2 |
drs2 |
Φ2 |
drs2 |
M s( |
2 ) d 2 |
P drB Φ3 |
drB , |
(4.36) |
|
dq |
|
dq |
|
dq |
dq |
dq |
|
где 2 – абсолютный угол поворота звена 2.
142
Общее уравнение динамики позволяет определить реакции всех освобождающих связей.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим |
реак- |
||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цию R03 в поступа- |
||||
1 |
|
|
M S 2 |
Ф2 |
|
|
y |
|
|
|
|
тельной паре. |
|
|||||||||||
φ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δxB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Освободим связь, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B' |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
φ2 + δφ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δyB |
|
соответствующую |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
Ф3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
G2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этой реакции. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координата |
yB |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
будет |
играть |
роль |
||||||
|
|
|
Рис. 4.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
второй |
входной ко- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ординаты. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Реакция R03 станет обобщенной «движущей» силой, соответствующей этой |
|||||||||||||||||||||||
координате. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Применим к этому механизму общее уравнение динамики: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0PiC M0i |
|
i |
|
|
|
||||
|
|
|
|
R03 Pi Φi r0i |
. |
|
(4.37) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
yB |
|
|
|
|
|
yB |
|
|
|||
При q = 0, yB 0 работу будут совершать только силы, приложенные к звеньям 2 и 3:
R |
G |
|
rS 2 |
Φ |
rS 2 |
M ( ) 2 |
P |
xB |
|
xB . |
(4.38) |
|
|
||||||||||
03 |
|
2 yB |
2 yB |
S 2 yB |
|
yB |
|
3 yB |
|
||
Из геометрических соображений можно получить:
2 |
|
1 |
, |
xB |
tg |
2 |
, |
xS 2 |
AS2 tg |
2 |
, |
yS 2 |
|
AS2 . |
(4.39) |
|
2 cos 2 |
||||||||||||||||
yB |
|
|
yB |
|
|
yB |
2 |
|
yB |
|
2 |
|
Изложенный метод можно применить для определения реакции любой освобождающей связи. Что же касается неосвобождающих связей, то соответствующие им реакции в принципе невозможно определить в процессе силового расчета механизма.
143
4.5. Силовой расчет механизмов, содержащих высшие кинематические пары
При точечном реакции в кинематической паре сводятся к силе Rn, направленной по общей нормали к контактирующим поверхностям.
При линейном контакте силы взаимодействия силы взаимодействия приводятся к главному вектору R12n , на-
правленному по нормали к поверхности кулачка, и главному моменту M12R A ,
вектор которого лежит в плоскости, касательной к профилю.
Рассмотрим некоторые примеры.
а). Расчет плоского кулачкового механизма.
Механизм содержит две низших кинематических пары (O и B) и одну высшую (A).
В плоскости движения:
во вращательной паре две неизвест-
|
ных компоненты реакции – R01x и R01y, |
|||
|
в поступательной – R02 и M02R z , |
|||
|
в высшей кинематической паре – |
|||
|
нормальная сила R12n= – R21n. |
|||
|
Вместе с обобщенной силой Q имеем |
|||
|
шесть неизвестных. |
|
|
|
|
R01x + Ф1cos t + R12n sin = 0, |
|||
|
R01y + Ф1 sin t – R12n cos – G1 = 0, |
|||
|
Q – R12n ecos – R12n sin (h0 + s) – |
|||
|
– G1 sin t + M1RO = 0, |
|||
|
R02 – R12n sin = 0, |
|
||
|
R12ncos – P – Pпр – Ф2 – G2 = 0, |
|||
Рис. 4.14 |
R |
h sin M R |
0. |
|
12n 1 |
02z |
|
||
Здесь t – угол между радиусом OС1 (С1 – центр масс кулачка) и осью x,= OС1, – угол давления, Ф1 и Ф2 – силы инерции кулачка и толкателя, G1
и G2 – силы тяжести, Рпр – сила, создаваемая пружиной, прижимающей толкатель к кулачку.
144
б) Расчет цилиндрической зубчатой передачи.
Обозначим q1 и q2 – уг-
ловые скорости зубчатых колес, причем q2 q1 
i , где
i – передаточное отношение; r1 и r2 – радиусы начальных окружностей; МС – момент сил сопротивления;
– угол зацепления передачи, являющийся в то же время и углом давления;
M1 J1zq1 и M2 J2zq2
– моменты сил инерции .
Составляя уравнения кинетостатики, имеем:
R01x – R21sin = 0; R01y – R21cos = 0; Q – R21r1cos – M1 = 0,
R02x + R12sin = 0; R02y + R12cos =0; R12r2cos – M2 – MС = 0.
Решая эти уравнения, находим (учитывая, что r2 = r1i; q2 q1 / i ):
Q (J1z J2 z / i2 )q1 MС / i, R12 (J2 zq 1 / i MС)(ir1 cos ) 1,
R01x = R12sin , R01y = R12cos , R02x = – R12sin , R02y = – R12cos .
145