Тема 8. Приложение движений плоскости к решению задач
1. Типовые задачи с решениями
Прежде чем приступить к решению задач, дадим несколько методических рекомендаций.
1) При решении задач методом геометрических преобразований часто пользуются следующими утверждениями:
а)
(если точка
принадлежит фигуре
,
то ее образ
в движении
принадлежит образу
фигуры
);
б)
(образ пересечения двух фигур
и
в данном движении
равен пересечению образов этих фигур).
2) Если в задаче дана трапеция, то используется параллельный перенос или гомотетия; если равнобокая трапеция – то осевая симметрия; параллелограмм – центральная симметрия или параллельный перенос; равнобедренный треугольник или угол – осевая симметрия (реже поворот); окружность – осевая симметрия или поворот; равносторонний треугольник или квадрат – поворот вокруг центра или вокруг одной из вершин; равнобедренный прямоугольный треугольник – поворот вокруг вершины прямого угла; две окружности равных радиусов – осевая симметрия или параллельный перенос; две касающиеся окружности равных радиусов – центральная симметрия; параллельные отрезки разной длины или две окружности неравных радиусов – гомотетия.
3) Не спешите с выбором преобразования, сначала проанализируйте условие и требование задачи: выделите фигуры, о которых идет речь в задаче, отношения, которыми они связаны; вспомните свойства и признаки понятий, содержащихся в требовании задачи; рассмотрите связь фигур, заданных в условии, с движениями или гомотетией. Только после этого приступайте к использованию конкретного вида преобразования.
Задача 1.1. Доказать, что сумма боковых сторон трапеции больше разности ее оснований.
Р
ешение.
Пусть
− трапеция,
− ее верхнее основание,
− нижнее (рис. 19).
Докажем, что
.
Подвергнем параллельному переносу
на вектор
сторону
.
Тогда
,
где
и
.
Получим вспомогательный
треугольник
,
для которого справедливо неравенство
треугольника:
.
Так как
и
,
то
.
Поэтому
.
Так как
,
а
(это равенство вытекает из того, что
по определению параллельного переноса),
то
.
Неравенство доказано.
Задача 1.2.
На сторонах
и
параллелограмма
во внешнюю сторону построены равносторонние
треугольники
и
.
Доказать, что точки
и
лежат на одной прямой.
Р
ешение.
Для доказательства того, что три точки
лежат на одной прямой, используют
центральную симметрию или гомотетию.
Так как в задаче дан параллелограмм, то
воспользуемся центральной симметрией
относительно точки
пересечения его диагоналей (рис. 20).
Докажем, что
.
.
Найдем образы лучей
и
.
Так как
− середина
,
то
.
Так как
− середина
,
то
.
Тогда
.
и сторона
угла
при центральной симметрии
переходит в сторону
угла
,
тогда вторая сторона
угла
перейдет в сторону
угла
,
т.е.
.
и сторона
угла
при
переходит в сторону
угла
,
тогда вторая сторона
угла
перейдет в сторону
угла
,
т.е.
.
Тогда применяя равенство б), получим:
,
т.е.
.
Следовательно, по определению центральной
симметрии точки
и
лежат на одной прямой.
Задача 1.3.
На сторонах
и
равностороннего треугольника
взяты соответственно точки
и
так, что
.
Найти величину угла между прямыми
и
.
Р
ешение.
Центр
правильного треугольника
равноудален от всех его вершин (т.е.
),
(рис. 21). Рассмотрим поворот вокруг точки
на угол
.
.
Тогда
.
.
Так как поворот
сохраняет расстояние, то
.
Итак,
,
т.е.
.
.
.
Учитывая, что угол
поворота тупой, делаем вывод, что угол
между прямой
и ее образом
равен
.
Ответ: угол между
прямыми
и
равен
.