- •Содержание
- •Введение
- •Задача 1. Определение напряжений на координатных площадках Записать матрицу тензора напряжений. Вычислить касательные напряжения на координатных площадках.
- •Задача 2. Графическое изображение компонент тензора напряжений Показать на рисунке напряжения, действующие на координатных площадках х, у, z, с учетом их знака и величины.
- •Задача 3. Расчет инвариантов тензора напряжений Вычислить инварианты тензора напряжений.
- •Задача 4. Определение направляющих косинусов новых осей в старой системе координат Задать три угла Эйлера. Вычислить направляющие косинусы новых осей в старой системе координат.
- •Задача 8. Построение эллипсоида напряжений Построить эллипсоид напряжений.
- •Задача 12. Определение положения главных осей тензора напряжений
- •Задача 13. Построение главных осей тензора напряжений
- •Задача 14. Нахождение острых углов между осями х, у, z и главным осями
- •Задача 16. Построение диаграммы Мора. Графическое решение задач
- •Список используемой литературы:
Задача 1. Определение напряжений на координатных площадках Записать матрицу тензора напряжений. Вычислить касательные напряжения на координатных площадках.
Тело движется и деформируется под действием внешних сил, распределенных на его поверхности (внешние поверхностные силы) и по объему (внешние объемные или массовые силы). В результате в нем возникают напряжения как следствие уравновешивания внешних сил. Напряжением называется величина численно равная пределу отношения силы действующей на бесконечно малую область тела к площади этой области. Напряжение является мерой интенсивности внутренних сил, распределенных по сечениям, и характеризует прочность тела в точке, так как известно, что разрушение тела начинается в точке. Различают две компоненты напряжения: - нормальное напряжение, - касательное. Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, которые можно провести через какую-либо точку тела называется напряженным состоянием в данной точке.
Поскольку напряжение равно силе, отнесенной к площади, на которой она действует, единица измерения напряжения в системе СИ равна Н/м2 (Па). Ввиду малости величины Н/м2 на практике напряжения обычно измеряют в Н/мм2 (МПа). Заметим, что 1 кгс/мм2 =9,8067МПа.
Напряженное состояние точки характеризуется тензором напряжений Т и может быть определено, если известно напряжение на любой проведенной через нее площадке. Напряженное состояние тела в свою очередь характеризуется тензорным полем.
Т= Т (1,2,3, t) и слагается из напряженных состояний в каждой его точке. Если тензор напряжений одинаков во всех точках тела, то его напряженное состояние называется однородным.
Тензором называется инвариантный математический объект, задаваемый с помощью 6 чисел.
Матрица тензора напряжений в прямоугольной декартовой системе координат х, у, z имеет вид:
. (1)
Эта матрица симметрична, т. е или подробно:
Напряжения действуют на координатных площадках х, у, z.
Первый индекс в обозначении означает координатную ось, в направлении которой действует напряжение, а второй индекс означает координатную площадку, на которой оно действует. На главной диагонали матрицы располагаются нормальные напряжения, остальные напряжения являются касательными. Из курса сопротивления материалов известен закон парности касательных напряжений . Следовательно, матрица симметричная, т. е . Симметрия тензора напряжений является следствием закона сохранения момента импульса.
Касательные напряжения , действующие на координатных площадках, находим как геометрические суммы напряжений с различными индексами i и j (см. рисунок 1):
. (2)
Нормальные напряжения на координатных площадках х, у, z соответственно равны:
.
Задача 2. Графическое изображение компонент тензора напряжений Показать на рисунке напряжения, действующие на координатных площадках х, у, z, с учетом их знака и величины.
Вокруг рассматриваемой точки деформируемого тела выбираем элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рисунок 1) . Его ребра параллельны осям координат х, у, z.
Напряжения показываем по трем видимым граням параллелепипеда. Внешние нормали к этим граням направлены в положительные стороны координатных осей. Поэтому положительные напряжения направлены в положительные стороны координатных осей. Отрицательные напряжения направлены в отрицательные стороны координатных осей. На рисунке 1 все напряжения положительны, кроме и .
Правило знаков для нормальных напряжений, не связанное с определенной системой координат: напряжения на координатной площадке положительны, если направления напряжений и внешней нормали к координатной площадке совпадают либо с положительными, либо с отрицательными направлениями координатных осей.
Масштаб для напряжений следует выбрать таким, чтобы касательные напряжения не выходили за пределы граней параллелепипеда.