6. Механические колебания и волны

6.1. Понятия о колебательных процессах. Гармонические колебания. Амплитуда. Частота. Фаза колебаний

Колебательными движениями являются движения или изменение состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания весьма разнообразны по своей физической природе: механические колебания, электромагнитные колебания в колебательном контуре. Разнообразные по природе, колебания могут иметь общие закономерности и описываться однотипными математическими методами.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, в которых величина x изменяется со временем по закону

x = A sin (t+)

или

x = A cos (t+), (6.1)

где =/2.

А, ,- постоянные величины, причем А0,0. Величина А, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся физической величины x, называется амплитудой колебания. В этом легко убедиться, если подставить в (6.1) максимальные и минимальные значения синуса

-1  sin (t+)  1

или косинуса

-1  cos (t+)  1,

то

 x_max = A.

Выражение (t+) определяет значение x в данный момент времени и называется фазой колебания. В момент начала отсчета времени (t=0) фаза равна начальной фазе .

Наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение, называется периодом колебаний (Т). За это время совершается одно полное колебание.

Поскольку синус и косинус периодическая функция с периодом 2, то значения величины x повторяются, если фаза изменится на величину 2, т.е.

x₁ = x₂;

A sin (t₁+) = A sin (t₂+),

eсли

 = t₁t₂ = 2

или

(t₁-t₂) = 2.

Но если величина x приобрела прежнее значение, то интервал времени равен периоду колебаний:

t₁t₂ = T.

Из приведенных соображений следует, что

T = 2,

где  - циклическая (круговая) частота.

Циклической частотой периодических колебания называется число полных колебаний, которые совершаются за 2единиц времени.

Частотой периодических колебаний () называют число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени. Поэтому соотношения между рассматриваемыми величинами имеют следующий вид:

.

Колебания, которые возникают в системе в результате какого-либо однократного начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия, называются свободными колебаниями. В случае свободных колебаний система не подвержена действию переменных внешних сил.

Примером свободных колебаний являются колебания математического пружинного и физического маятников.

6.2. Свободные гармонические колебания

6.2.1. Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Приближенно можно считать математическим маятником небольшой нетяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис.6.1).

 Fв mg Рис.6.1

Отклоним маятник от поло-жения равновесия на угол и предоставим ему возможность совершать колебания. На маятник в отклоненном состоянии действует возвращаю-щая сила Fв = -mg sin. Она направлена по каса-тельной к траектории движения шарика в сторону положения

равновесия. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения математического маятника запишется в виде

. (6.2)

В общем случае решение уравнения (6.2) сложно.

Рассмотрим случай, когда отклонение маятника от положения равновесия настолько малы, что синус угла можно считать пропорциональным величине угла:

sin.

Тогда смещение по дуге приближенно можно считать равным смещению вдоль горизонтальной хорды и синус угла заменить отношением смещенияxк длине нити

и переписать уравнение (6.2) в виде

(6.3)

Обозначим

(6.4)

и подставим (6.4) в уравнение (6.3), получим уравнение движения математического маятника:

(6.5)

Из вида уравнения следует, что движение математического маятника описывается линейным однородным дифференциальным

уравнением второго порядка.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (6.5) является функция вида

x(t) = A sin (t+)

или x(t) = A cos (t+),

т.е. математический маятник совершает гармонические колебания с частотой

и периодом

.

Таким образом, период колебаний математического маятника зависит только от ускорения силы тяжести в данном месте Земли и от длины маятника.