Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика / mech-lec-TulGU

Рис.7.6 Рис.7.7

2) Вращение пульсара (рис.7.7): при ослаблении термоядерного процесса в недрах звезд с массой, превышающей массу Солнца в 1, 4 ÷2,5 раз,

гравитационные силы взрывным образом сжимают внутреннюю часть звезды в шар радиусом ~10 км. Электроны при этом "вдавливаются" в

ядра атомов, образуя вместе с протонами незаряженные частицы – нейтроны (отсюда другое название пульсаров – нейтронные звезды). Так как момент инерции медленно вращавшейся звезды резко уменьшается, то угловая скорость увеличивается настолько сильно, что период вращения пульсара составляет всего ~ 1 с !.

3) Два стержня соединены растянутой невесомой пружинкой и прижаты к гладкой горизонтальной поверхности (рис.7.8,а). Отпускаем стержни, и когда пружин-

мент импульса системы измениться не может!

Действительно, кроме вращения стержней вокруг собственных центров масс, следует учесть движение этих центровG масс, создающее проти-

воположно направленный момент импульса L C (рис.7.8,б). В сумме

LGC + LG1 + LG2 = 0 .

Если же M z ≠ 0 , то из уравнения (7.5) следует:

момента силы за то же время.

3. Момент инерции и его вычисление

Согласно определению, момент инерции

тела относительно оси равен сумме произведений масс его материальных точек на квадраты их расстояний до оси вращения или

I = ∑m i R i2 .

бивают на бесконечно малые объемы dV с массой dm =ρdV (рис.7.9). Тогда

где R – расстояние элемента dV от оси вращения.

Рассмотрим несколько примеров вычисления момента инерции симметричных тел относительно оси, проходящей через центр масс.

1) Начнем с тонкого кольца массы m и радиуса R (рис.7.10). Так как R=const для оси, перпендикулярной плоскости кольца, то

ρ = m /(πR2 ) – масса единицы поверхности (рис.7.11). Момент инерции

( r C – расстояние от оси C до центра масс). Соотношение (7.11) называет-

ся теоремой Штейнера:

момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной ей и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Примеры. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его край О (рис.7.13):

Момент инерции доски качелей массы m и ширины l относительно оси вращения (рис.7.15):

I = 121 ml2 + m h2 .

Интересным примером является конструк- Рис.7.15 ция гоночных машин – болидов, где тяжелый двигатель устанавливается как можно ближе к центру масс, т.е. посредине машины. Это делается для уменьшения момента инерции. Тогда, согласно уравнению (7.5), для поворота машины нужно приложить меньший момент сил, или же поворот происходит быстрее – машина становится

"верткой".

4. Кинетическая энергия вращательного движения

Согласно формуле (5.10), кинетическая энергия вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела

Дифференцируя выражение (7.13) по времени и используя уравнение (7.5), получим закон изменения кинетической энергии вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела:

Пример: рассматривая упругое соударение одинаковых бильярдных шаров в §4 главы 6, мы не учли вращательного движения. При центральном ударе покоившемуся шару "2"

передается энергия только поступательного движения катившегося шара "1". Поэтому сразу после удара шар "2" начнет скользить, а шар "1" – вращаться на месте (пробуксовывать)

(рис.7.17). Согласно формуле (7.15), Рис.7G.17 под действием сил трения и их мо-

ментов скорость v шара "2" начнет постепенно уменьшаться, а его вращение относительно центра – ускоряться. Для шара "1" – наоборот. В результате оба шара начнут катиться в направле-

нии удара.

Можно сильно раскрутить легкий шар или мяч так, как показано на рис.7.18,G и бросить его на поверхность со скоростью v0 . Мяч

будет проскальзывать, постепенно остановится Рис.7.18 и начнет катиться в обратную сторону, воз-

вращаясь к бросившему его человеку.

6. Тензор инерции

Рассмотрим теперь общий случай: вращение твердого тела вокруг незакрепленной оси (рис.7.1). Вычислим полный момент импульса тела.

Так как, согласно формуле (1.16), vGi =[ωG, rHi ], то

Первое слагаемое в этой формуле параллельно вектору, который по определению направлен вдоль оси вращения, тогда как второе – вообще говоря, направлено под некоторым углом к ωG .

Поэтому при вращении тела вокруг произвольной оси вектор

Если к тому же договориться значок суммы ∑ не записывать, а по

двум одинаковым индексам, встречающимся в произведении, производить суммирование, то формулы становятся компактными:

Кстати, с помощью специального симметричного тензора

называемого δ – символом Кронекера, можно записать общую формулу как для диагональных, так и для недиагональных компонентов тензора инерции, а именно:

I m n = ∑m i (ril rilδ m n −r mr n ) , где m, n, l = x, y, z . (7.21)

i

Если ось вращения совпадает с одной из осей координат, например, с осью z (рис.7.19), то из определения диагонального компонента тензора инерции следует:

I zz = ∑m i (r2i − z2i ) =∑m i (x2i + y2i ) = ∑m i R2i

зор или матрицу можно диагонализировать, т.е. для любого тела можно выбрать три такие взаимно перпендикулярные оси x, y, z , для которых

тензор инерции имеет вид:

т.е. все недиагональные компоненты исчезают.

Такие оси называются главными осями инерции тела, а сохранившиеся диагональные компоненты тензора инерции называются главными моментами инерции. Проекции момента импульса на главные оси инерции имеют вид:

такая ситуация вполне обычна (если, конечно, не рассматривать колесо на разболтанной оси, описывающее при вращении "восьмерки").

В заключение этого параграфа запишем в тензорных обозначениях кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг произвольной оси:

= ω mω n (ril ril δ m n −ri mr i n ).

Поэтому, с учетом формулы (7.21)

Относительно главных осей эта же формула в развернутом виде выглядит так:

Kвращ = 12 (Ix x ω2x + I y y ω2y + Iz z ω2z ).

7.Гироскопы и гироскопический эффект

7.1.Симметричные волчки и гироскопы

Любое вращающееся тело называется волчком. Свободный волчок – это тело, свободно движущееся в пространстве, или же тело, закрепленное в точке центра масс и способное поворачиваться вокруг этой точки в любом направлении.

Асимметричным называется волчок, у которого все три главных момента инерции различны. Такой волчок обладает интересной особенностью: если на него действует

Рис.7.21 внешняя сила (например, сила тяжести), то вращение вокруг главных осей инерции, соответствующих максимальному и минимальному главным моментам инерции, будет устойчивым (ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве). Вращение вокруг других осей, включая и третью главную ось инерции, – неустойчиво (волчок начнет кувыркаться). Попробуйте раскрутить и подбросить в воздух параллелепипед, изображенный на рис.7.21, и убедитесь в устойчивости

вращения только вокруг осей Cy и C z .

Тело, у которого два главных момента инерции совпадают, называется симметричным волчком (а в случае совпадения всех трех моментов