Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика / mech-lec-TulGU

радиусом rC называется световым

горизонтом. Любая точка D за пределами светового горизонта лежит вне светового конуса и ненаблюдаема для обитателя Земли (рис.12.9). Однако со временем Земля окажется в точке A' ,

и точка D попадёт внутрь нового светового конуса (луч света от D дойдет до Земли). Радиус светового горизонта все время растет.

3. Четырехмерные векторы. Релятивистские инварианты

Любой вектор в пространстве Минковского имеет 4 проекции, которые будем обозначать греческим символом: A µ (Act , Ax , Ay , Az ) .

Такие векторы называются четырехмерными или 4-векторами. Примером будет 4-мерный радиус-вектор пространства Минковско-

го rµ (ct, x, y, z). А так как все 4-векторы преобразуются при повороте

осей координат одинаково, то компоненты любого из них изменяются по тому же закону (12.2), что и 4-вектор rµ .

При переходе от неподвижной системы К к новой инерциальной системе K ' , движущейся вдоль оси Ox со скоростью v0 , компоненты

Эти преобразования полностью аналогичны преобразованиям Ло-

ренца (11.9) – (11.12).

При повороте осей пространства Минковского (что эквивалентно переходу в другую ИСО) проекции 4-векторов будут меняться, но квадраты 4- векторов остаются неизменными, т.е. являются релятивистскими инвариантами. Примером такого инварианта является квадрат интервала (12.6).

Квадрат 4-вектора определяется по правилу (12.4). Можно записать его в компактном виде:

A2 = ∑ A µ gµν Aν.

µ,ν

В дальнейшем будем опускать знак суммы и считать, что если в одной формуле встречаются два одинаковых индекса, то по ним подразумевается суммирование.

Подставив метрику пространства Минковского (12.5), получим выражение релятивистского инварианта – скалярную величину, одинаковую во всех ИСО:

Аналогично формуле (12.9) определяется скалярное произведение двух 4-векторов:

A B = A µ gµν Bν = Act Bct − Ax Bx − Ay By − Az Bz (12.10)

Заметим, что обычные 3-мерные векторы классической механики не будут 4-векторами, и, как правило, даже не являются пространственными компонентами 4-векторов.

Так, обычный вектор скорости v преобразуется при переходе в другую K ' -систему по правилу (11.14), что совсем не похоже на правило преобразования 4-вектора (12.8).

4. Четырехмерные векторы скорости и ускорения

Чтобы получить 4-вектор скорости, надо взять производную от 4- радиус-вектора по некоторой скалярной величине, выполняющей в пространстве Минковского роль времени. В §2 определили такой скаляр – интервал ds = cdτ, который не изменяется при переходе в другую ИСО. Поэтому 4-вектор скорости

преобразуется по тому же закону (12.2) или (12.7), что и 4-вектор rµ , т.е.

действительно является 4-вектором.

Подставляя в определение (12.11) компоненты rµ (ct, x, y, z) и фор-

мулу (11.2) ds = cdτ =c 1−v2 c2 dt , находим компоненты (проекции) 4-вектора u µ :

Важная особенность этих выражений: компоненты u µ не независи-

мы. Элементарное вычисление даёт: u2 =uµ gµν u ν =1 . Следовательно,

с геометрической точки зрения u µ является единичным безразмерным 4-

вектором касательной к мировой линии.

По тому же правилу определяется и 4-вектор ускорения:

wµ = ddusµ .

Вычисление компонент этого вектора и его квадрата полезно провести в качестве самостоятельного упражнения. Укажем лишь на одно примечательное свойство: скалярное произведение (12.10) 4-вектора ускорения и 4-вектора скорости всегда обращается в нуль. Для доказательства достаточно взять производную от постоянной величины:

5. Релятивистский эффект Доплера и аберрация светового луча

При v →c пользоваться 4-вектором скорости (12.12) нельзя. Поэтому для описания движения светового луча вводят 4-мерный волновой

вектор k µ . Его "временная" компонента kct = ωc , а "пространственные"

компоненты образуют обычный волновой вектор k = 2λπev . Здесь ω –

же самое происходит при движении источника света относительно неподвижного наблюдателя. Аналогичный эффект имеет место в классической физике, когда можно пренебречь членами второго порядка малости

Пример: свет, приходящий на Землю от удаленных галактик сдвинут в область мèньших частот. Это означает, что галактики удаляются от Земли, т.е. мы живем в расширяющейся Вселенной.

Если же наблюдатель движется перпендикулярно к направлению на источник света θ = π2 , то из формулы (12.15) получим:

имеющая классического аналога.

Первая формула (12.13) после подстановки (12.14) и (12.15) даёт:

направление светового луча меняется при переходе от неподвижной системы к движущейся. Это явление называется аберрацией светового луча.

Глава 13.

Динамика релятивистских частиц

1. Четырехмерный вектор энергии-импульса

Уравнения и основные величины классической динамики должны измениться при переходе к скоростям, сравнимым со скоростью света. При таких скоростях невозможноG Gиспользовать даже классическое определение импульса частицы p = mv .

Действительно, хотя скорости vGi замкнутой системы частиц могут

изменятьсяG , но полный импульс такой системы меняться не должен:

P = ∑mivGi =const . Преобразуя скорости в соответствии с правилом i

(11.13), видим, что в другой инерциальнойG системе отсчета классический импульс уже не сохраняется: P ' = ∑mivG'i ≠ const , что противоречит i

основному постулату об эквивалентности всех ИСО.

Больше того, эти преобразованияG неG совпадают с преобразованиями (12.8), т.е. классический импульс p = mv не является компонентой како-

го-либо 4-вектора пространства Минковского.

Релятивистской называют частицу, скорость которой не мала по сравнению со скоростью света c , и для которой нельзя считать, что

v2 c2 →0 . Для любой релятивистской частицы легко определить 4- вектор импульса, умножая безразмерный 4-вектор скорости uµ на посто-

где m – масса частицы (она совпадает с массой покоящейся частицы, и поэтому её часто называют массой покоя или собственной массой частицы). Постоянная скорость света c добавлена в определение (13.1) для

получения правильной размерности. После подстановки компонент 4- скорости (12.12), находим:

Это – вектор импульса релятивистской частицы. Нетрудно видеть, что при v2 c2 →0 он совпадет с классическим импульсом (2.2).

Остается выяснить смысл "временной" компоненты pct . В класси-

ческой энергии релятивистской частицы определяется тем же соотноше-

– это кинетическая энергия релятивистской частицы.

Из формулы (13.3) немедленно следует, что ни одна частица с массой, отличной от нуля, не может двигаться со скоростью света! Для разгона такой частицы до световой скорости надо совершить бесконечную работу. И наоборот, безмассовые частицы, такие как фотон ( m =0 ), имеющие конечную, не равную нулю энергию, могут существовать, только двигаясь со скоростью света c !

При малых скоростях ( v c )

т.е. формула (13.3) приводит к хорошо известному классическому выражению для кинетической энергии частицы.

Кинетическая энергия равна разности энергий движущейся и покоящейся частицы. Такая энергия называется полной энергией свободной частицы и определяется формулой

Отсюда следует, что любая покоящаяся частица ( v = 0 ) с ненулевой массой должна обладать энергией, которую Эйнштейн назвал энергией покоя:

Далее мы убедимся, что энергия покоя действительно существует и может переходить в другие виды энергии.

Полную энергию свободной частицы можно представить, как сумму энергии покоя и кинетической энергии:

ε= mc2 + K .

"Временная" компонента 4-вектора (13.1) связана с полной энергией:

pct = mcuct = mc 1 −v2 c2 =ε c . .Иначе говоря,

динамические характеристики релятивистской частицы определяет 4- вектор pµ , объединяющий энергию и импульс частицы:

Он называется 4-вектором энергии-импульса.

Из правил преобразования 4-вектора (12.8) следуют формулы преобразования полной энергии и импульса частицы при переходе от одной ИСО к другой:

т.е. энергия и импульс связаны и преобразуются друг через друга! Не меняется релятивистский инвариант (12.9) – квадрат этого вектора:

Непосредственной подстановкой величин (13.2) и (13.4) находим,

– это формула связи энергии и импульса релятивистской частицы.

Из тех же формул (13.2) и (13.4) нетрудно увидеть, что полная энергия и импульс свободной релятивистской частицы связаны соотношением

2. Уравнение движения релятивистской частицы

По аналогии с классическим уравнением движения частицы (2.7) запишем релятивистский закон движения:

Это – уравнение Минковского, которое заменяет закон (2.7), предложен-

4-вектор силы Fµ имеет название силы Минковского и не совпадает с обычной силой. Чтобы определить его компоненты, подставим проек-

При v2 c2 →0 это уравнение совпадёт с классическим уравнением

движения (2.7). Но для релятивистской частицы оно приводит к интересным особенностям.

Вычисляя производную, находим, что в проекции на направление, касательное к траектории частицы: