Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика / mech-lec-TulGU

биты, M – масса Земли.

Из-за действия сил трения любое движение космонавтов или других тел на борту станции сопровождается уменьшением механической энергии.

Но уменьшаться будет только внутренняя энергия E (что приводит к затуханию движения внутри станции). Изменить скорость vС , уменьшить ра-

диус орбиты и упасть на Землю по этой причине станция не может! Однако на станцию может действовать внешняя диссипативная сила

трения со стороны очень разреженных верхних слоев атмосферы, и именно эта сила приводит к постоянному уменьшению радиусов орбит всех искусственных спутников. Если внутри станции произойдет взрыв, но осколки

не пробьют обшивку, то за счет химической энергии возрастет энергия E (при взрывах сохраняется импульс P , но не сохраняется механическая энергия!), но опять не изменятся ни радиус орбиты, ни скорость vС .

3.Момент импульса системы

3.1.Суммарный момент внешних сил

Впредыдущей главе было показано (формула (5.14)), что при равенстве нулю результи-

рующей внешних сил F суммарный момент внешних сил не зависит от выбора точки О.

Примером может служить пара сил – две силы, одинаковые по величине, противоположные по направлению и не направленные вдоль одной прямой (рис.6.3).

зом, момент пары сил, действительно, не зависит от выбора точки О и равен произведению силы на кратчайшее расстояние между ними (плечо).

Можно сделать два важных вывода.

1) В Ц-системе система частиц покоится как целое ( vС = 0 ), и по-

этому F = Fвнеш + F ин = 0 . Следовательно, в Ц-системе суммарный мо-

мент внешних сил (включая силы инерции!) не зависит от выбора точки:

MO = MО' .

2) В Ц-системе момент сил инерции относительно центра масс равен нулю (это связано с тем, что Ц-система движется поступательно).

Действительно, M инC = ∑ ri ,(−m ia C ) = a C , ∑m iri = 0 , так как начало отсчета совпадает с центром масс ( r C = 0 ).

3.2. Собственный момент импульса системы

Связь между моментами импульса относительно двух произвольных точек О и O ' может быть найдена из элементарных вычислений (так же,

как и для моментов сил): так как r i = rC + r i ' (рис.6.4), то

3.3. Связь моментов импульса в Л- и Ц-системаx

Пусть в Л-системе момент импульса L определен относительно точки О (рис.6.4). Так как в Ц-системе момент импульса не зависит от выбора начала отсчета, то его можно вычислить относительно той же точки О:

L = ∑m i ri , v i = ∑m i ri , v i +∑m i ri , vC .

Первое слагаемое в этом выражении – это собственный момент импульса L . Второе преобразуется к виду

∑m i ri ,vC =[mrC , vC ]= r C , P . В итоге получаем:

момент импульса в Л-системе равен собственному моменту импульса плюс момент импульса, обусловленный движением системы, как целого.

3.4. Уравнение моментов в Ц-системе

Так как уравнение моментов dLdt = M справедливо в любой системе отсчета, то в Ц-системе его можно записать в виде

относительно центра масс, поскольку в этом случае в MС не включаются силы инерции, момент которых относительно центра масс равен нулю.

В частности, если MС = 0 , то L = const – закон сохранения мо-

мента импульса в системе центра масс.

Как следует из соотношения (6.4), в проекциях на ось z , проходящую через центр масс, уравнение моментов принимает вид:

механическая энергия не меняется, хотя горизонтальная составляющая vС под действием силы трения уменьшается!

В задачах ядерной физики разлетающиеся после соударения частицы

Рис.6.8 Рис.6.9

могут отличаться от сталкивающихся. На рис.6.8 процесс столкновения в Л-системе развернут во времени (здесь vi – скорости частиц до удара, а

u i – после удара). На рис.6.9 этот же процесс изображен в Ц-системе.

Различают три типа парных столкновений: абсолютно неупругие, упругие и просто неупругие (промежуточный случай).

Абсолютно неупругие столкновения.

Абсолютно неупругим называется столкновение, в результате которого частицы слипаются и дальше движутся как единое целое (промежуточная частица на рис.6.8 не распадается).

т.е. скорость слипшихся частиц равна скорости центра масс системы. При неупругом столкновении происходит превращение (частичное

или полное) механической энергии шаров в тепловую. Так как в Ц- системе частицы после столкновения покоятся, то изменение внутренней энергии системы, согласно формуле (6.1), будет

66 Глава 6. Система центра масс

Упругие столкновения.

Упругим столкновением называется такое взаимодействие, при котором не выделяется тепло, иначе говоря – механическая энергия сис-

темы сохраняется.

Поэтому скорости частиц после столкновения u1 и u2 (в Л-системе) определяются из уравнений:

Так как уравнений всего три (векторный закон сохранения импульса можно записать в виде двух проекций на оси x и y в плоскости движе-

ния частиц), а неизвестных – четыре ( u 1x , u 1y , u 2x , u2 y ), то однознач-

ного решения задачи система уравнений (6.6), в общем случае не дает: для этого необходимо знать закон взаимодействия частиц и решать совместно уравнения движения. Тем не менее, законы сохранения позволяют получить некоторые общие результаты, как, например, возможные интервалы углов разлета частиц после столкновения.

Наиболее просто это сделать в Ц-системе, где m2v2 = −m1v1 и

m2u2 = −m1u1 . Возводя в квадрат обе части этих равенств и подставляя их в уравнение закона сохранения энергии из

(6.6), получим: u1 =v1 и u2 =v2 .

пользуясь правилом сложения векторов, можно определить угол разлета θ частиц в Л-системе. На рис.6.11 показан случай m 1 < m 2 . В некото-

рых случаях система уравнений (6.6) позволяет получить простое решение. Например:

1) удар шаров в бильярде.

Пусть движущийся шар налетает на покоящийся (в случае движения обоих шаров перейдем в Л-систему, где один шар покоится, рис.6.12). Возведем в квадрат обе части векторного закона сохранения импульса:

пульсы шаров после удара ортогональны. После упругого касательного соударения угол разлета

шаров всегда равен 90 o ! В этом примере можно не учитывать качения шаров, если они движутся без проскальзывания, т.е. второй шар после удара сразу же начнет катиться (иначе часть механической энергии теряется из-за трения, и угол разлета будет другим).

2)Лобовое столкновение (частицы до

ипосле столкновения движутся по одной прямой). В Ц-системе частицы, столкнувшись, разлетятся с прежними по величине, но обратными по направлению скоростями

u 2 =v 1 , т.е. одинаковые частицы при упругом столкновении просто об-

мениваются скоростями.

Глава 7.

Динамика твердого тела

1. Движение твердого тела

Под твердым телом в механике понимается недеформируемое тело. Его частицы не могут передвигаться относительно друг друга и относительно центра масс. Поэтому в Ц-системе единственным возможным движением твердого тела может быть только вращение тела как целого вокруг

системе отсчета уравнения произвольного движения твердого тела можно записать в виде:

Первое из этих векторных уравнений описывает поступательное движение тела, второе – вращательное (оно записано в Ц- системе, и речь идет о собственном моменте

импульса LG , но в следующих параграфах значок "тильда" использоваться не будет, чтобы не перегружать формулы).

Иногда уравнение вращательного движения записывают относительно мгновенной оси вращения. Эта ось OO' на рис.7.2 образована точками тела, которые в данный

момент времени неподвижны в используемой Л-системе отсчета, для них, vGi =vGC + ωG , rGi = 0 .

Так, при качении без проскальзывания (рис.7.3) мгновенная ось вра-

(рис.7.3), окажутся равными нулю и не войдут в уравнение движения (7.2). Но в последующий момент времени мгновенная ось вращения сместится. К тому же при произвольном движении твердого тела она остается параллельной оси вращения, проходящей через центр масс, и вместе с этой осью меняет свою ориентацию (направление) в пространстве. Так, на рис.7.4 показано кружение вращающегося предмета, проскальзывающего по твердой поверхности.

Пользоваться мгновенной осью вращения уже Рис.7.4 неудобно, поэтому в общем случае для описания движения твердого тела используют инер-

циальную Л-систему отсчета и решают два векторных уравнения (7.1) Такая задача очень сложна (классическая монография Ф.Клейна и

А.Зоммерфельда "Теория волчков" состоит из четырех объемистых томов). Поэтому в данной главе более или менее подробно будут рассмотрены только некоторые наиболее простые частные случаи вращательного движения.

2. Вращение тела относительно закрепленной оси

Рассмотрим вращение тела вокруг закрепленной, т.е. неподвижной в пространстве оси (вообще говоря, не проходящей через центр масс). Инерциальную систему отсчета всегда будем выбирать так, чтобы ее ось Oz совпадала с закрепленной осью вращения (рис.7.5).

В главе 4 был введен момент импульса частицы относительно закрепленной оси z . Рассматривая твердое тело, как систему частиц, обобщим

формулу (4.5) на случай произвольного твердого тела. Момент импульса тела относительно закрепленной оси будет:

L z = ∑ m i R2iω= ω∑ m i R2i = Iω ,

i i

произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему моменту внешних сил относительно закрепленной оси вращения.

Уравнение (7.5) называется основным уравнением вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси.

Кстати, из формулы (7.5) следует, что момент инерции играет роль меры инертности при вращательном движении тела (как масса – при поступательном движении).

Как следует из уравнения (7.5):

если моменты всех сил относительно оси уравновешены, т.е. ∑M z = 0 , то момент импульса тела (или системы тел) относитель-

но той же оси сохраняется: Lz = Iω= const . Это частный случай за-

кона сохранения момента импульса.

Примеры применения этого закона иллюстрируют рисунки 7.6 – 7.8. 1) Вращение фигуриста (так называемый "волчок") (рис.7.6): вращение начинается при вытянутых в стороны руках, после чего фигурист прижимает руки к туловищу. В результате его момент инерции уменьша-