Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Физика

Файл:

Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика / mech-lec-TulGU

.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

3.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

3. Реактивное движение. Уравнение Мещерского					51

	F	=	dm	u .	(5.7)

	реакт		dt

Для ракеты реактивная сила играет роль силы тяги, но в случае присоединения массы dm / dt > 0 , и реактивная сила будет силой торможе-

ния (например, при движении ракеты в облаке космической пыли). Замечание: уравнение Мещерского совпадает с обычной формули-

ровкой второго закона Ньютона только в одном частном случае, когда u = −v (отбрасываемая или присоединяемая масса становится неподвижной относительно Земли). Тогда

m	dv	= F	−	dm	v	или	d	(mv) = F	.
	dt						dt
		внеш		dt				внеш

В качестве примера вычислим зависимость скорости ракеты от массы топлива.

Пусть все внешние силы, действующие на ракету, уравновешены, а скорость истечения газов (продуктов сгорания топлива) постоянна: u =const . В этом случае уравнение Мещерского принимает простой вид

и легко интегрируется. Сокращая на dt

и разделяя переменные, приходим

к уравнению

dv =

u ,

откуда находим

m(t) dm

и v (t) −v (0)

=u ln

m(t)

= −u ln

m 0

∫dv = u

∫

m (t)

Итак, зависимость скорости ракеты от времени имеет вид:

	v (t) =v (0)	−u ln	m0	,	(5.8)
			m(t)


где m 0 – начальная масса ракеты:		m0 = m ракеты+ m топлива . Поэтому

величина конечной скорости ракеты (в отсутствие сил сопротивления и с учетом того, что скорости u и v направлены противоположно) будет

		m топлива
v конечн =v (0) +u ln 1	+			.	(5.9)
		m
			ракеты

Заметим, что для ракет с химическим топливом u ≈ 4					км /с.

52	Глава5. Динамика системы частиц. Законы сохранения
	4. Энергия системы частиц

Энергия системы частиц состоит из кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий всех частиц системы

Kсист = ∑	m iv2i	.	(5.10)
	2
i

и является, согласно определению, величиной аддитивной (как и импульс).

Иначе обстоит дело с потенциальной энергией системы. Во-первых, между частицами системы действуют силы взаимодейст-

вия F ij = −F ji . Если эти силы – консервативные, то работа, совершаемая ими над парой взаимодействующих частиц за время dt , будет

dA ij = F ij dri + F ji drj = F ij (dr i −drj )= F ij dri ' ,

где dri ' – перемещение i -й частицы относительно j -й.

Тогда dA ij = −dUij , где Uij – потенциальная энергия взаимодействия i -й и j -й частиц.

Суммируя Uij по всем частицам системы, находим так называемую собственную потенциальную энергию системы:

Uсоб = 1 ∑∑Uij

2 i j≠i

(коэффициент 1/ 2 в этой формуле учитывает тот факт, что каждое слагаемое в двойной сумме повторяется дважды).

Существенно, что собственная потенциальная энергия системы зависит только от ее конфигурации (т.е. от расстояний между части-

цами системы). К тому же эта величина – не аддитивная.

Во-вторых, на каждую частицу системы, вообще говоря, действуют и внешние силы. Если эти силы – консервативные, то их работа будет равна

убыли внешней потенциальной энергии dA = −dUвнеш , где

Uвнеш = ∑Ui , i

Ui – потенциальная энергия i -ой частицы во внешнем поле. Она зависит

от положений всех частиц во внешнем поле и является аддитивной.

5. Закон сохранения механической энергии	53

Таким образом, полная механическая энергия системы частиц, находящейся во внешнем потенциальном поле, определяется как

E = Kсист +Uсоб +Uвнеш .

(5.11)

5. Закон сохранения механической энергии

Согласно закону изменения кинетической энергии i -й частицы, dK i = dA i .

Суммируя эти равенства почленно, получаем закон изменения кине-

тической энергии системы: приращение кинетической энергии системы равно работе всех сил, действующих на все частицы системы, т.е.

dKсист = dA конс +dA неконс = −dUсоб −dUвнеш + dA неконс ,

откуда

dE сист = dA неконс .

(5.12)

Это – закон изменения механической энергии системы: измене-

ние механической энергии системы равно суммарной работе всех неконсервативных сил.

Консервативной называется система, полная механическая энергия которой сохраняется: Eсист = const . В такой системе отсутствуют лю-

бые неконсервативные силы (и внешние, и внутренние).

Заметим, что консервативность системы и закон сохранения механической энергии никак не связаны с замкнутостью системы.

Пример: лобовое столкновение двух летящих упругих резиновых мячей (рис.5.11). Система не замкнута (центр масс падает с ус-

корением

g ), но консервативна. Часть кине-

тической энергии мячей в момент удара пере-

ходит в собственную потенциальную энергию

Рис.5.11

упругой

деформации, но полная энергия не

меняется:

+ m

) v2

E =

соб

+ m ) g h

= const

(в момент наибольшего сближения мячи движутся с одной и той же скоростью vC ).

54	Глава5. Динамика системы частиц. Законы сохранения
	6. Момент импульса системы. Уравнение моментов

Моментом импульса системы называется аддитивная величина, равная векторной сумме моментов импульса всех частиц системы:

L сист = ∑L i = ri , p i .

В случае непрерывного распределения массы с плотностью ρ в этой формуле вместо суммы надо вычислять интеграл по объему системы V :

L сист = ∫ [r , ρv] dV.

Согласно закону изменения момента импульса (4.3), для каждой частицы системы можно записать уравнение

dL i = Mi + ∑Mij , dt j≠i

где первое слагаемое в правой части – это момент внешних сил, действующих на i -ю частицу, а второе слагаемое – сумма моментов внутренних сил.

Суммируя эти уравнения по всем частицам, получим закон изменения полного момента импульса системы:

dLсист

= ∑

dLi

= ∑Mi +

∑∑Mij .

j≠i

Двойная сумма в правой части уравнения обращается в нуль, так как

содержит парные слагаемые вида

, F

+ r

, F

= r

−r

, F

(если учесть, что по третьему закону Ньютона

F ij = −F ji ). Но векторы

r i −r j и

F ij

па-

раллельны (рис.5.12), поэтому двойная сумма

обращается в нуль. Внутренние силы не могут

изменить полного момента импульса системы.

Окончательно имеем:

dL сист

= Mвнеш

(5.13)

Рис.5.12

Уравнение (5.13) называется уравнением моментов и утверждает, что производная по времени полного момента

импульса системы равна результирующему моменту внешних сил.

6. Момент импульса системы. Уравнение моментов	55

Уравнения (5.13) и (4.3) являются следствиями уравнения движения (5.1). Однако, при записи (5.1), которое обычно называют уравнением динамики поступательного движения, надо учитывать все внешние силы. Уравнение моментов (5.13) позволяет исключить из рассмотрения любую из этих сил. Для этого надо выбрать точку О, относительно которой записаны моменты, на линии действия силы.

Пример: падение подпиленного столба (рис. 5.13). В точке опоры О действует неизвестная и к тому же меняющаяся со временем сила реакции

N . Но момент этой силы относительно точки опоры равен нулю, и в уравнение моментов войдет только момент известной силы тяжести:

dLdt0 = mg l , что очень облегчает решение зада-

чи. Уравнение моментов определяет закон дина-

мики вращательного движения. Описать такое движение с помощью уравнения (5.1) нельзя.

Рис.5.13 Пример: почему трогается с места и движется с ускорением автомобиль?

Очевидным является ответ: колеса не проскальзывают, и сила трения сцепления F тр (сила трения покоя) на-

	правлена	против	вращения	колес
	(рис.5.14). Эта внешняя сила и заставляет
	двигаться центр массы автомобиля с ус-
Рис.5.14	корением a = 4F тр / m .

Заметим, однако, что эта сила приложена к неподвижным точкам касания колес с дорогой, т.е. работы не совершает и поэтому не может изменить кинетическую энергию и скорость системы! К тому же, сразу после выключения двигателя скорость и направление вращения колес не меняются, но автомобиль будет не ускорять, а замедлять движение!

Дело в том, что при сложном движении, когда система совершает и поступательное, и вращательное движения, уравнение моментов

(5.13) и уравнение поступательного движения

(5.1) надо использовать совместно. Колесо начинает двигаться с ускорением из-за появле-

Рис.5.15

ния вращающего момента сил M0 (этот момент передается колесу через карданный вал). Сила

56	Глава5. Динамика системы частиц. Законы сохранения

трения сцепления возникает как противодействие моменту M0 : ее момент относительно оси O пропорционален M0 и тормозит вращение колеса

(рис.5.15). Если выключить двигатель ( M0 = 0 ), то исчезнет и сила тре-

ния сцепления: по твердой недеформируемой поверхности не проскальзывающее колесо будет катиться с постоянной скоростью (если пренебречь сопротивлением воздуха).

Но реальная поверхность дороги всегда деформируется под действием веса колеса (машины), и перед движущимся колесом возникает кро-

шечный бугорок. Сила реакции N будет приложена к колесу со стороны

такого бугорка (рис.5.15), а момент силы N относительно оси катящегося тела, который называют моментом трения качения, всегда тормозит качение.

7. Закон сохранения момента импульса

Как следует из уравнения моментов (5.13),

полный момент импульса системы сохраняется, если сумма моментов внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

Найдем связь между суммарными момен-

	тами внешних сил MO и							MO ' относительно
	двух произвольных точек O и O'
		Как следует из рис.5.16,							ri ' = r i −r 0		и
	MO ' = ∑										,
Рис.5.16				ri ', Fi		=	∑ ri , Fi		− r 0	, ∑F i
	т.е.	M	O '	= M	O	−	r , F			(5.14)

							0
где F = ∑F i – результирующая внешних сил.
Поэтому, если MO = 0		и момент импульса системы относительно
точки О сохраняется (LO = const ), то момент импульса этой же системы
относительно другой точки O' сохраняться,							вообще говоря,			не будет.

LO ' = const только, если F = 0 , или если линия, соединяющая точки O

иO' , параллельна вектору результирующей силы F .

Вчастном случае движения тела (частицы) в поле центральной силы точку О можно совместить с силовым центром (рис.5.17). Так как

7. Закон сохранения момента импульса	57

		=[r, f (r) r	]=0 , то мо-
MO =	r, F цен

мент импульса относительно центра будет сохраняться

L O=[r , mv]= const .

Кроме того, надо учитывать, что закон со-

		хранения момента импульса имеет векторный
	Рис.5.17	характер, поэтому может сохраняться не сам
	Рис.5.17	вектор момента импульса, а его проекция (или
		вектор момента импульса, а его проекция (или
		две проекции). Допустим, что ∑M i z =0 .

Тогда	i
Тогда	∑L i z = const
	i

Пример: пусть кегля стоит под точкой подвеса О маленького шарика m на нити (рис.5.18). Отведите шарик и попытайтесь толкнуть его так, чтобы он сбил кеглю при обратном движении. Этого сделать не удается. Проекции моментов сил на вертикальную ось z равны нулю, и поэтому LO z = mvг l = const . А так как горизон-

тальная составляющая скорости шарика v г ко-

Рис.5.18

вращения под

MO г = mg l .

нечна, то l ≠ 0 (рис.5.18). Шарик будет вращаться вокруг оси z , меняя высоту и скорость действием горизонтальной проекции момента силы

Рис.6.1

Глава 6

Система центра масс

Система отсчета, жестко связанная с центром масс системы частиц и движущаяся поступательно относительно инерциальной системы отсчета, называется системой центра масс или Ц-системой. ИСО, связанная с наблюдателем, тогда называется лабораторной или Л-системой.

Ц-система представляет интерес в тех случаях, когда исследуется не движение системы частиц, как целого, а

относительное движение частиц в сис-

теме. Все величины в Ц-системе будут обозначаться надстрочным значком " " ("тильда"). Начало отсчета Ц- системы обычно совмещают с центром масс С системы частиц (рис.6.1).

1. Импульс системы частиц

Так как, согласно формуле (5.4), для системы частиц с массой m = ∑mi импульс P = mvС , а в Ц-системе vC = 0 , то импульс системы

частиц в Ц-системе равен нулю, т.е. P = 0 .

И еще одно следствие этих выражений: так как для замкнутой системы частиц P = const и, следовательно, vC = const , то Ц-система, свя-

занная с замкнутой системой частиц, – инерциальная (центр масс С

незамкнутой системы частиц движется ускоренно, и, как легко увидеть из рис.6.1, соответствующая Ц-система будет неинерциальной).

Пример: система двух частиц.			p 1 = m 1v1 и		p 2 = m 2v2 , а
Импульсы частиц в Л-системе будут:
в Ц-сиcтеме: p1 = m1v1 = m 1 (v 1 −vC	) и		p 2 = m 2v 2 = m 2 (v 2 −vC ).
Так как, согласно формуле (5.4), v C =	P	=	m1v1 + m 2v2	,	то
	m		m1 + m 2

p 1 =µ (v 1 −v 2 ) и p 2 = µ (v2 −v1 ),

2. Энергия системы частиц

где величина µ =	m 1	m 2	называется приведенной массой.
	m 1+ m 2

Если к тому же учесть, что v 1 −v 2 =v 1 отн	– относительная ско-
рость первой частицы относительно второй, то	окончательно будем

иметь:
p i =µv i отн	и	p 1 = −p 2 .

Итак, импульс частицы в Ц-системе равен произведению приве-

денной массы на относительную скорость.

2.Энергия системы частиц

2.1.Кинетическая энергия

Кинетическая энергия системы частиц с общей массой m в Л- системе, согласно определению (5.10),


	K = ∑		m iv2i	= ∑	m i		(v i +v С )2		=
	K = ∑			= ∑			(v i +v С )2		=
		2		2
= ∑	m iv 2i	+vС ∑m iv i + ∑				m iv 2С		= K +	mv 2С	,
= ∑	2	+vС ∑m iv i + ∑				2		= K +	2	,
	2					2			2

так как второе слагаемое в выражении для K в силу того, что ∑m ivi = P , обращается в нуль.

Итак, энергия системы частиц в Л-системе

K = K +	mv	2С	.	(6.1)
	2

Отсюда следует, что наименьшее значение, равное K ская энергия системы частиц имеет в Ц-системе!

Пример: кинетическая энергия двух частиц в Ц-системе

2		2			p2		p2	2		2		1		1
K =	m1v1	+	m2v2	=	1	+	2	=	µ	vотн			+			=
					2m		2m			2				m
2		2									m				2
					1		2					1

, кинетиче-

µvотн2 .

2.2 Полная механическая энергия

На систему частиц могут действовать как внешние, так и внутренние силы. Собственная потенциальная энергия (энергия взаимодействия частиц друг с другом) зависит только от взаимного расположения частиц сис-

60		Глава 6. Система центра масс

системы и поэтому одинакова во всех системах отсчета: Uсоб =Uсоб .

Она связана с внутренними консервативными силами.

Полная механическая энергия системы частиц, согласно (5.11),

E = K +Uсоб +U внеш = E +	mv2С	+U внеш ,	(6.2)
	2

где энергия E = K +Uсоб называется внутренней механической энергией

системы.

Если между частицами, т.е. внутри системы, начнут действовать консервативные силы, или произойдут какие-либо процессы, связанные с изменением механической энергии, то меняться будет только внут-

ренняя механическая энергия E .

Еще раз напомним, что сумма внутренних сил (консервативных и неконсервативных равна нулю и не может изменить скорость vС центра

масс системы. Величина и направление vС будут меняться только под

действием внешних сил:

Рис.6.2

m	dvС	= −grad Uвнеш + F внеш .
	dt
		неконс

Пример: рассмотрим движение космической станции по орбите (рис.6.2).

При малых размерах станции на все ее участки действует внешняя сила тяже-

сти m i g , где g практически одинаково.

Согласно определению (3.6),

h i

Uвнеш −U0 = −∑ ∫ (−m i g )dh i =

i 0

= g∑m ih i = mghС , где координата (вы-

i
сота) h i	частицы	m i	отсчитывается
относительно уровня		h =0 близкого к
станции,	чтобы можно		было считать
g = const .

Потенциальная энергия системы в однородном поле сил тяжести определяется по высоте h С ее центра масс.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика

#
02.05.20143.9 Mб106mech-lec-TulGU.pdf
#
02.05.20143.32 Mб597mech-zad-TulGU.pdf