Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика / mech-lec-TulGU

При этом изменение механической энергии в замкнутой системе компенсируется изменением тепловой, химической и других видов энергии.

Закону изменения энергии можно придать несколько иную форму,

т.е. скорость изменения механической энергии равна мощности не-

консервативных сил.

Важным частным случаем неконсервативных сил являются диссипативные силы – силы, зависящие от скорости частицы и направленные про-

тив скорости:

= − f (v)vG .

Примером может служить сила вязкого трения. Как следует из урав-

нения (3G .13), мощность диссипативных сил всегда отрицательна:

Pдис = FдисvG = − f (v)v2 < 0 ,

механическая энергия всегда убывает (и превращается во внутреннюю, в тепло). Отсюда и название: “dissipare” (лат.) – рассеивать.

Глава 4

Момент импульса

1. Момент импульса частицы

мента импульса частицы относительно некоторой точки равна моменту силы относительно той же точки.

l = r sin α называется плечом силы. Отсюда следует, что точку приложения силы (если, конечно, речь идет о твердом теле) можно сдвигать вдоль

Глава 5

Динамика системы частиц. Законы сохранения

1.Законы изменения и сохранения импульса системы частиц

Вэтой главе объектом изучения будет не одна частица, а система частиц. Система частиц может представлять собой любое агрегатное состояние вещества – газ, жидкость или твердое тело.

Систему всегда можно разбить на столь малые участки (линейные,

плоские или объемные) с массами mi , что их размерами можно пренеб-

речь и рассматривать эти участки как частицы (материальные точки). Положение каждой из этих частиц задается радиус-вектором ri

(рис.5.1).

Масса всей системы определяется как m = ∑m i . Строго говоря, в этом выражении

i

должна стоять не сумма, а интеграл: если ρ –

интеграл берется по всему объему системы. На i -ю частицу системы, вообще говоря, действуют как внешние си-

лы Fi со стороны окружающих систему тел или полей, так и сумма внут-

ренних сил ∑ Fij со стороны всех остальных частиц системы. Поэтому j≠ i

закон движения i -й частицы запишется в виде

dpi = Fi + ∑Fij . dt j≠i

Число таких уравнений равно числу частиц в системе. Просуммируем эти уравнения для всех частиц системы (т.е. попросту сложим все левые и все правые части). Так как в силу третьего закона Ньютона

48Глава5. Динамика системы частиц. Законы сохранения

∑m i g ri = 0 , что эквивалентно условию равновесия весов (рис.5.4), в

которых точка опоры помещена в центр тяжести ( m1g x1 = m2 g x2 ).

Но если mi gi не параллельны, как по-

казано на рис.5.5, то центр масс и центр тяжести не совпадают. Взяв производную по времени от

т.е. полный импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс VC .

Подставляя это выражение в закон изменения полного импульса

(5.1), находим:

Центр масс системы движется как частица, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена результирующая внешних сил.

Рассмотрим примеры систем, изображенных на рис.5.6 – 5.9.

После подрыва ракеты (рис.5.6) центр масс облака разлетающихся осколков продолжает лететь по прежней траектории, что позволяет поразить цель. Точно так же при прыжке с вышки в воду (рис.5.7) прыгун может совершать различные кульбиты, но его центр масс движется приблизительно по параболе.

В системе Земля – Луна их центры вращаются вокруг общего центра масс С, который, в свою очередь, движется вокруг Солнца по эллиптической траектории (на рис.5.8 траектории показаны в системе центра масс, в которой центр С неподвижен). Кстати, наблюдая в телескоп извилистую траекторию звезды на небесной сфере, можно не только установить факт наличия у нее планеты (или планетной системы), но и вычислить массу последней.

Более интересным будет пример, показанный на рис.5.9: в ящике, стоящем на гладком льду, находятся кошка и мышь. Их беготня приводит к беспорядочным движениям ящика, но центр масс С системы остается неподвижным (если пренебречь силой трения!).

Однако на практике можно осуществить ситуацию, когда полностью закрытый и стоящий на льду неподвижно ящик, вдруг начинает смещаться в одну сторону! Для этого должна действовать внешняя сила (малая сила трения скольжения), заставляющая центр масс двигаться с ускорением

ро: t2 <<t1 . Результирующее смещение ящика

Таким образом, используя внешнюю силу трения, можно заставить закрытый ящик даже ползти вверх по наклонной плоскости.

Наконец, заметим, что при поступательном движении все точки твердого тела движутся так же, как и центр масс (по таким же траекториям), поэтому для описания поступательного движения достаточно записать и решить уравнение движения центра масс.

Так как P = mvC , то центр масс замкнутой системы должен сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, т.е.

vC = const . Но при этом вся система может вращаться, разлетаться, взрываться и т.п. в результате действия внутренних сил.

3. Реактивное движение. Уравнение Мещерского

Реактивным называется движение тела, при котором его масса изменяется. Пусть в процессе движения за время dt тело массы m присоединяет (поглощает) или отбрасывает (испускает) массу dm со скоростью u относительно тела; в первом случае dm > 0 , во втором dm <0 .

Рассмотрим такое движение на примере ракеты, испускающей газообразные продукты горения топлива.

Перейдем в инерциальную систему отсчета K ' , которая в данный момент времени t движется с той же

изменение полного импульса системы "ракета – газ" за время dt будет:

Разделив это выражение почленно на dt , получим уравнение движения ракеты в системе K ' , но так как все ИСО эквивалентны, то и в системе K уравнение будет иметь тот же самый вид:

Это – уравнение Мещерского, описывающее движение любого тела

спеременной массой в поле внешних сил с результирующей Fвнеш.

Вуравнении (5.6) масса m – величина переменная, и ее нельзя внести под знак производной. Второе слагаемое в правой части уравнения (5.6) называется реактивной силой.