Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика / mech-lec-TulGU

Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Физика

Файл:

Как следует из рис.1.7,

vG =v τG .

Чтобы найти ускорение

.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

3.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

2. Кинематика частицы. Перемещение, скорость, ускорение

Свяжем с траекторией естественную систему координат, состоящую

из трех взаимно перпендикулярных осей: касательной (единичный вектор

τ, направленный вдоль вектора скорости частицы), нормали (единичный

вектор nG

, направленный к центру кривиз-

ны траектории), и бинормали (единичный

(рис.1.7). По опреде-

вектор b

τ,

n])

= 1.

лению τ n

b и

продифференцируем формулу (1.9) по времени, учитывая, что как v , так

и τ являются функциями времени:

dv G

d τ

a =

(v τ) =

τ+v

(1.10)

Первое слагаемое в (1.10) направлено по касательной к траектории и

называется тангенциальным (касательным) ускорением:

dv G

aτ =

τ .

(1.11)

Его модуль a

равен производной от величины скорости по

времени, поэтому тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине.

Определим теперь направление и величину второго слагаемого в

формуле (1.10). Для этого сначала преобразуем его:

d τ

=v2

d τ

=v2

lim

∆τ.

∆t→0

∆l

Используя теперь рис.1.8, вычис-

лим

lim

∆τG.

Для этого перенесем век-

G∆t→0 ∆l

тор τ2 в точку 1, изобразим вектор ∆τ

и проведем нормали к траектории в точ-

ках 1 и 2, которые пересекаются в неко-

торой точке O ' . Тогда, как видно из

рис.1.8,

∆τG

≈

Gτ

∆α = ∆α и

Рис.1.8

Глава 1.

Кинематика

∆l ≈ R '∆α, откуда:

∆τG

≈

. В пределе при ∆t →0 точка

O ' стремит-

∆l

R '

ся к некоторой точке O , а величина R ' → R , поэтому

d τ

. Точка

O называется центром кривизны, а величина R – радиусом кривизны траектории. Геометрически он равен радиусу окружности, вписанной в кривую траектории.

∆τG

С другой

стороны,

из

рис.1.8

следует, что в пределе вектор

→ d τG будет направлен по нормали к траектории к центру ее кривиз-

d τ

2 d τ

ны

O . Итак:

n . Поэтому второе слагаемое в

формуле (1.10) направлено по нормали к траектории, характеризует изменение скорости по направлению, называется нормальным ускорением и определяется выражением:

G	v2 G
an =		n.	(1.12)
	R

Его модуль an = v2 . (Заметим, что в случае движения частицы по

окружности – это хорошо известное центростремительное ускорение.) Подведем итоги.

Рис.1.9

по прямой R →∞, aGn частицы по окружности

Полное ускорение можно разложить

на две составляющие: тангенциальное ус-
корение aG	и нормальное ускорение aG
Gτ	G	G	n
(рис.1.9): a = aτ + an , причем модуль пол-
ного ускорения		a = a2	+a2 . Что касает-
		τ	n

ся бинормальной составляющей ускорения, то, как следует из предыдущих рассуждений, она тождественно равна нулю.

В частности, при движении частицы

= 0 и aG = aGτ . А при равномерном движении aGτ = 0 и aG = aGn .

Вопрос: по какой траектории будет двигаться частица в случае aτ > 0 и an = const ?

Рис.1.12

Рис.1.11

Рис.1.10

3.Кинематика вращательного движения вокруг неподвижной оси

Ответ: по раскручивающейся спирали. Это следует из того, что, со-

гласно формуле (1.11), ddtv > 0 , следовательно, скорость частицы растет с

течением времени; тогда из формулы (1.12) вытекает R =v2 / const , т.е. R возрастает, как v2 .

3.Кинематика вращательного движения вокруг неподвижной оси

Рассматривают несколько видов движений абсолютно твердого тела: поступательное, вращательное движение вокруг оси (в частности, – закрепленной), плоское движение, вращательное движение вокруг точки и свободное движение. Первые два вида – основные: любое движение твердого тела можно свести к поступательному движению

и вращению относительно некоторой оси. Поступательным движением называет-

ся такое движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям, или, иначе говоря, любая прямая, связанная с

телом, перемещается параллельно самой себе (рис.1.10).

При вращении вокруг закрепленной оси все точки движутся по соосным окружностям (рис.1.11). За время dt происходит поворот тела на угол dϕ. Поэтому вместо линейных характе-

ристик вводятся угловые характеристики: поворот тела на бесконечно малый угол dϕ характеризу-

ется вектором угла поворота dϕG , направленным

по оси вращения по правилу правого винта. Пример: движение стула на рис.1.12,а не бу-

дет вращательным. Это поступательное криволинейное движение по окружности, когда все точки тела движутся по одинаковым траекториям, но положение центра кривизны для них различно. На рис. 1.12,б изображено вращательное движение стула: все его точки описывают окружности вокруг общей оси вра-

14 Глава 1. Кинематика

щения ОО', но радиусы этих окружностей различны.

Быстрота изменения угла поворота характеризуется вектором угло-
	G	G
		G
		dϕ
вой скорости	ω=		,	(1.13)
вой скорости	ω=	dt	,	(1.13)
	G
	G
направленным так же, как и вектор dϕ, т.е. по оси вращения по правилу

правого винта.

Еще одна кинематическая характеристика вращательного движения
	G	G

		dω
– вектор углового ускорения	ε =		.	(1.14)
		dt

Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположен ему при замедленном вращении.

Замечание. Конечный угол поворота не является вектором! Он не подчиняется принципу коммутативности, т.е. результат сложения двух конечных углов поворота (двух последовательных вращений) зависит от порядка слагаемых (от последовательностиG G G вращенийG ):

ϕ1 +ϕ2 ≠ ϕ2 +ϕ1 .

В качестве примера рассмотрим два последовательных поворота

предмета (стула) по часовой стрелке на угол	π/ 2 . На рис.1.13,а изобра-
жен вначале поворот стула вокруг оси
x , а затем –		вокруг	оси z . На
рис.1.13,б стул вначале вращают вокруг
оси z , а затем – вокруг оси x . Конеч-
ные положения стула заметно отлича-
ются друг от друга. Тем не менее, бес-
конечно малые углы поворота можно
складывать векторно:			G
G	G	G
dϕ1 + dϕ2		≈ dϕ2 + dϕ1 ,

Рис.1.13	так как при изменении порядка сложе-
	ния бесконечно малых векторов резуль-
тат будет отличаться на бесконечно малую второго порядка O((dϕ)2 ),

которой можно пренебречь. Поэтому, согласно формулам (1.13) и (1.14), векторы угловой скорости и углового ускорения можно складывать обычным образом: если тело участвует в двух вращениях, то результирующая угловаяG GскоростьG равна векторной сумме двух составляющих векторов:

ωрез = ω1 +ω2 (то же самое относится и к угловому ускорению).

Рис.1.14

3.Кинематика вращательного движения вокруг неподвижной оси

Пример: диск катится по горизонтальной плоскости по кругу (рис.1.14),G совершая вра-

щение с угловой скоростью ω1 вокруг своей собственной оси и с угловой скоростью ωG2

вокруг вертикальной оси О. Размерности угловых величин:

[ϕ]= рад, [ω]= рад/с = с-1 ,

[ε]= рад/с2 = с-2 . Угол поворота в системе

СИ необходимо задавать в радианах. Векторные величины особенно удобны при рассмотрении сложных

движений твердого тела. В простейших случаях, особенно при вращении вокруг закрепленной оси, можно ограничиться проекциями этих величин на ось z , которую обычно совмещают с осью вращения (а ее направление

– с положительным направлением отсчета угла ϕ – т.е. с правилом право-

го винта):	ωz =	dϕ	,	εz =	dωz	=	d 2	ϕ	.
		dt			dt		dt	2

Так же, как и при поступательном движении, при вращательном существуют прямая и обратная задачи кинематики.

Прямая задача: по заданному как функция времени углу поворота ϕ=ϕ(t) найти ωz и εz ; решается она дифференцированием по времени:

ωz = ddtϕ =ϕ, εz = ddtωz = ωz = ϕ.

Обратная задача: по заданному как функция времени угловому ускорению εz =εz (t) и начальным условиям (ωz (t = 0) =ω0 и

ϕ(t = 0) =ϕ0 ) найти кинематический закон вращения; она решается с помощью интегрирования:

	t				t
ωz (t) = ω0 + ∫εz (t) dt , ϕ(t) = ϕ0 + ∫ωz (t) dt.
	0				0
Отсюда получаются простые формулы равнопеременного вращения
( εz = const ):									t2
ω	z	=ω +ε	z	t ,	ϕ= ϕ	0	+ω t +ε	z	t2	2 .
	z	0	z			0	0	z

16					Глава 1.	Кинематика
	4. Связь линейных и угловых кинематических величин
	Рассмотрим произвольную точку в твердом теле, которое вращается
вокруг закрепленной оси (рис.1.15).						G	G
			Установим связь между векторами v и				ω.
	Как следует из рис.1.15, величина элементарного
	перемещения точки (или путь) будет равна
		drG	= Rdϕ= r sin θdϕ, поэтому
		drG	= Rdϕ= r sin θdϕ, поэтому
			G	G	G	(1.15)
			G	G	G
			dr	=[dϕ , r ],

т.е. элементарное перемещение равно векторному произведению элементарного угла поворота на радиус-вектор точки. Разделив формулу (1.15)

почленно на

dt , немедленно получим:

dϕ

, r

или

=[ω, r ] (1.16)

Рис.1.15

Отсюда вытекает, что величины линейной и угловой скоростей свя-

заны соотношением: v =

=ω r sin θ =ωR , где R – расстояние от вы-

деленной точки до оси вращения.

Теперь продифференцируем формулу (1.16) по времени. Это дает:

dω

r +

ω,

или

(1.17)

=[ε, r ]+[ω,

Первое слагаемое направлено по касательной к траектории и равно

по модулю

[εG

rG]

= εr sin θ= εR

– это не что иное, как тангенциаль-

aGτ =

[εG , rG].

ное ускорение:

Второе слагаемое направлено по радиусу к центру вращения, равно

по модулю

[ω,

= ω v

= ω

R ≡

и является нормальным ускоре-

[

]

ω, r

нием: a =

ω,

. Итак:

aτ =εR ,

an =ω2 R

и a =

aτ2 + an2 = R ε2 +ω4 .

(1.18)

Пример: качение колеса со скоростью v без проскальзывания можно представитьG в виде суммы двух движений, поступательного со скоростью v и вращательного с угловой скоростью ω=v / R вокруг оси колеса

5. Связь скоростей и ускорений в разных системах отсчета		17
	(рис.1.16). При этом нижняя
	точка колеса	неподвижна
	( vA = 0 ), т.е. сцеплена с до-
	рогой, а скорость верхней
Рис.1.16	точки vB = 2v . Если колесо
	будет быстрее двигаться по-

ступательно, чем вращаться, то оно начнет проскальзывать (скорость точки А на рис.1.16 будет направлена вправо). При более быстром вращении колесо пробуксовывает (точка А движется влево).

Замечание: при повороте осей координат векторы линейных и угловых скоростей преобразуются по одинаковым законам. Но при зеркаль-

ном отражении координатных осей (эту операцию называют инверсией
пространства) векторы rG, vG				и aG	меняют знак (так как меняют знак орты
			iG,	Gj, kG	декартовой системы координат). Такие
			векторы называются полярными.
				С другой стороны, при инверсии про-
			странства правая тройка декартовой системы
			координат превращается в левую (рис.1.17),
			правый винт – в левый (в винт с левой нарез-
			кой), и при вращении винта от оси x ' к оси y '
Рис.1.17			(сравните с рис.1.11) направление его переме-
Рис.1.17		G	щения не меняется. Иначе говоря, угловые век-
G	G	G	щения не меняется. Иначе говоря, угловые век-
торы dϕ ,	ω и	ε	не меняют знака при инверсии пространства. Такие

векторы называют аксиальными. Легко видеть, что векторное произведе-

ние любых полярных векторов при инверсии знака не меняет:aG, bG инверсия→ −aG, −bG = aG, bG , т.е. является аксиальным векто-

ром! Векторное произведение аксиального и полярного векторов будет полярным вектором (смотри формулы (1.16) и (1.17)).

5. Связь скоростей и ускорений в разных системах отсчета

Рассмотрим два особенно важных случая.

1) Пусть имеются две системы отсчета: K (система станции, условно назовем ее неподвижной) и K ' (системаG поезда), движущаяся поступательно относительно К со скоростью v0 и ускорением aG0 (рис.1.18).

Пусть,Gдалее, некая частица в поезде движется со скоростью vG' и ускорением a ' . Возникает вопрос: как найти скорость и ускорение частицы от-

18 Глава 1. Кинематика

носительно станции? Ответ на него дают формулы преобразования скоростей и ускорений.

Как следует из рис.1.18, радиусвекторы частицы в двух системах отсчета связаны простым соотношением:

rG = rG'+ rG0 . Дифференцируя его по

времени, находим закон преобразования скоростей:

Рис.1.18			vG =vG'+vG0 .	(1.19)
Рис.1.18			vG =vG'+vG0 .	(1.19)
Повторное дифференцирование приводит к формуле преобразования
ускорений:
	aG = aG'+ aG	0 .		(1.20)
	aG = aG'+ aG	0 .		(1.20)

Всё очень просто: для перехода в неподвижную систему следует к скорости и ускорению частицы прибавить соответственно скорость и ус-

корение движущейся системы.
2) Система K '	(карусель) вращается относительно системы K с
				G
постоянной угловой скоростью ω= const вокруг неподвижной в системе
			К оси z				(рис.1.19). В этом случае ситуация
			несколько сложнее, чем в предыдущем.
					Для упрощения формул совместим на-
			чала отсчета обеих систем так, чтобы в неко-
			торый				момент времени t радиус-векторы
			частицы в них совпали. Тогда за последую-
			щее время					dt частица переместится в систе-
			ме K ' на vG'dt , а вместе с системой K ' еще
			и повернется относительно неподвижной сис-
										G	т.е. ее суммарным пере-
Рис.1.19			темы на угол dϕ,								т.е. ее суммарным пере-
Рис.1.19		G	мещением в системе								K будет рис.1.19)
G		G	'dt		+		G		G	.	(1.21)
dr =		v	'dt		+		dϕ	, r		.	(1.21)
						[		]
	перемещение						поворот
Разделив это выражение на			dt	, получим закон преобразования скоростей:
		G	G		G		G	].			(1.22)
		G	G		G		G
		v	=v	'+[ω			, r
Перейдем к ускорениям. Из формулы (1.22) следует, что
			G	G	'+G		G	G
G		dv = dv			'+G		[ω,	dr ],			(1.23)
так как ω= const . Но изменение v							' происходит как в результате движе-
ния частицы с ускорением aG'				в системе K ' , так и поворота вектора ско-

5. Связь скоростей и ускорений в разных системах отсчета

рости vG' вместе с системой K '

относительно системы K ; поэтому, ана-

логично формуле (1.21),

' .

(1.24)

dv ' =

a 'dt

dϕ

[

]

движение

поворот

Подставляя в (1.23) выражения (1.21) и (1.24), получаем

]) =

= a 'dt +[dϕ , v ']+

, (v

'dt +[dϕ , r

[

]

[

]

[

]

= a 'dt +

dϕ

dϕ , r

v ' +

, v ' dt + ω,

Разделив полученное выражение на dt

и приведя подобные члены,

найдем закон преобразования ускорений:

[

]

[

a = a '+ 2

ω ,

v '

ω,

ω , r

(1.25)

]

Последнее слагаемое в формуле (1.25) направлено по радиусу к оси вращения и поэтому называется центростремительным или осестреми-

тельным ускорением:

aG ос = ωG ,[ωG, rG] , его модуль aос =ω2 R .

Второе слагаемое в правой части (1.25) называется кориолисовым

ускорением (по имени Гюстава Кориолиса): aGкор = 2[ωG , vG'].

Если система K ' относительно системы K совершает поступательное и вращательное движение одновременно, то формулы (1.20) и (1.25)

следует объединить в одну:

[

]

= a

+ a '+ 2

ω ,

+ ω,

ω ,

(1.26)

[

]

FGгр = mgG ,

Глава 2

Динамика частицы. Законы Ньютона и их следствия

1. Сила, масса, импульс

Если кинематика отвечает на вопрос "по какой траектории движется тело?", то динамика изучает другую сторону вопроса: "почему движение происходит именно так?". А так как вид траектории или изменение движения частицы связаны только с ее взаимодействием с другими телами, то приходится вводить такие понятия, как сила, масса, импульс и т.п., позволяющие описать это взаимодействие.

Силой называют количественную меру взаимодействия тел друг с другом. В разных случаях оно происходит по-разному, поэтому существует множество видов сил, и каждый вид описывается своим силовым законом. Рассмотрим силы, наиболее часто встречающиеся в задачах механики.

1. Гравитационная сила (сила при-

Рис.2.1

тяжения между двумя частицами)

(рис.2.1) определяется законом всемир-

ного тяготения Ньютона

m1 m 2

rG1

−rG2

гр = −G

e r ,

где e r =

– единичный вектор, направ-

−rG

−r2

ленный вдоль линии, соединяющей частицы. Если частицу m 2 поместить в начало координат О, то этот закон примет вид:

G	m 1 m 2	G	G	rG
F гр = −G		e r ,	где e r =		.
F гр = −G	r2	e r ,	где e r =	r	.
	r2			r

Гравитационную силу притяжения частицы планетой записывают также в виде

где gG – ускорение свободного падения.

Заметим, что аналогичным законом (законом Кулона) определяется сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме:

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика

#
02.05.20143.9 Mб106mech-lec-TulGU.pdf
#
02.05.20143.32 Mб597mech-zad-TulGU.pdf