Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика / mech-lec-TulGU

наблюдателя 3 дуэлянт А выстрелит раньше дуэлянта Б. Для наблюдателя 4, движущегося в противоположном направлении, порядок событий изменится на противоположный.

6.2.Релятивистское замедление времени

ВK ' -системе часы покоятся в одной точке ( x '1 = x '2 ) и показывают

6.3.Лоренцево сокращение длины

ВK ' -системе линейка покоится и имеет

Пример: объясним парадокс "шеста и сарая" (рис.11.12,б). Наблюдатель, движущийся с шестом, одновременно измеряет поло-

жения его концов: t1' −t2' , x2' − x1' =l0 . Но в системе сарая, согласно

шеста в системе сарая происходят на расстоянии

и аналогичное выражение для v'z .

Итак, получена релятивистская теорема сложения скоростей, т.е. закон преобразования проекций скорости при переходе из одной ИСО в другую:

состояние ничем не отличается от состояния сразу после старта, за исключением потери части топлива. Ракета становится легче и, включив двигатель посильнее, можно добиться бòльшего ускорения, увеличить скорость и, казалось бы, превысить скорость света c .

Покажем, что это невозможно. Для этого еще раз продифференцируем по времени первую формулу (11.14):

После несложных вычислений находим релятивистскую связь ускорений в разных инерциальных системах:

Свяжем теперь систему K ' с движущейся ракетой (рис.11.20). Согласно гипотезе Эйнштейна, можно использовать формулы СТО, если в качестве ско-

Подставляя в формулу (11.15), находим: ddtv = a(1 −v 2 c2 )3 2 .

движущейся с постоянным ускорением в инерциальной системе отсчета. Как видно из рис.11.21, она никогда не превысит скорость света c !

(рис.12.2), если бы не существенная разница: тригонометрические функции в формулах (12.1) заменены гиперболическими функциями в выражениях (12.2)! Это означает, что

свойства 4-мерного пространства Минковского отличны от свойств обычного эвклидова 3-мерного пространства.

Чтобы понять суть такого отличия, вспомним, что при повороте осей координат меняются проекции любого вектора, но не изменяется скалярная величина – длина этого вектора. Так, с помощью преобразований (12.1) легко убедиться, что при повороте декартовых осей не изменится

длина радиус-вектора: r = x2 + y2 + z2 = x ' 2+ y ' 2+ z ' 2 .

Однако преобразования Лоренца меняют эту величину (в другой ИСО имеет место эффект релятивистского сокращения длины). Поэтому обычные 3-мерные векторы не могут быть векторами пространства Минковского.

С другой стороны нетрудно проверить, что единственной комбинацией, построенной из координат x, y, z и ct , и не меняющейся при пре-

образованиях Лоренца (12.2), будет

матрицы g , которая называется метрикой пространства и полностью определяет все его геометрические свойства:

координат. Если после диагонализации она примет вид gi k = δi k , где

δi k – символ Кронекера, то пространство называется плоским и эвклидо-

вым. Таким является ньютоново 3-мерное пространство.

Если после диагонализации компоненты матрицы, стоящие на диагонали, различны, то пространство будет искривленным.

Из сравнения выражений (12.3) и (12.4) видно, что

Пространство с такой метрикой, т.е. пространство Минковского, называется псевдоэвклидовым. Разные знаки компонентов метрики (12.5) приводят к непривычному виду преобразований (12.2) при повороте осей координат в псевдоэвклидовом пространстве. При повороте в плоскостях xy, xz или yz сохраняются преобразования (12.1), так как соответст-

вующие компоненты метрики имеют одинаковый знак.

Вывод: в СТО время и 3-мерное пространство не существуют и не преобразуются независимо друг от друга, а образуют единое 4-мерное пространство-время Минковского с метрикой (12.5).

2. Свойства пространства Минковского. Интервал

Изображая процесс движения частицы, как последовательность событий – мировых точек, получим траекторию движения в пространстве Минковского (рис.12.4). Она называется мировой линией и показывает пространственные координаты частицы в любой момент времени, т.е. представляет всю историю существования частицы. На рис.12.4 линия I изображает мировую линию покоящейся частицы, а линия II – движущейся (причем в начальный момент частица находилась в начале координат). Следует заметить, что так как

ровой линии к любой из осей Ox, Oy и Oz не может быть меньше 1 (иначе частица будет двигаться со сверхсветовой скоростью).

другой предмет соответствующего размера.

На плоском двумерном листе не удаётся показать даже 4 взаимно перпендикулярные оси координат ct, x, y и z . Приходится две из них

схематически совмещать, как показано на всех рисунках. "Расстоянием" между двумя событиями (двумя мировыми точками)

в 4-мерном пространстве Минковского будет величина (модуль) разности 4-мерных радиус-векторов этих событий, называемая интервалом. Согласно формуле (12.3) квадрат интервала определяется как

Воспользовавшись преобразованиями Лоренца легко проверить, что

интервал является инвариантом, т.е. не изменяется при переходе от одной ИСО к другой, или при повороте осей координат 4-мерного пространства:

(предлагается проделать самостоятельно в качестве полезного упражнения). Если квадрат интервала между двумя событиями положителен

(s122 >0), то такой интервал называется времениподобным. Всегда

можно найти такую инерциальную систему отсчета K ' , в которой оба события 1 и 2, разделенные времениподобным интервалом, происходят

в одной пространственной точке (x '1 = x '2 , y '1 = y '2 , z '1 = z '2 )!

Действительно, перенесем часы из мировой точки 1 в мировую точку 2 вдоль прямолинейной мировой линии I , соединяющей эти точки (на рис.12.6,а такая линия соответствует движению с постоянной скоростью). Свяжем систему K ' с переносимыми часами. В такой системе часы поко-

160 Глава 12. Свойства пространства-времени

ятся и показывают собственное время t ' = τ . Следовательно, оба события 1 и 2 произойдут в одной точке K ' -системы (рис.12.6,б).

Из положительности выражения (12.6) следует, что скорость переноса

ная с часами, будет при этом неинерциальной, но за бесконечно малый промежуток времени dt её скорость можно считать практически постоянной, и использовать инвариантность интервала (12.6):

(ds)2 = c2 (dt )2 −(dx)2 −(dy)2 −(dz)2 = c2 (dτ)2 .

Легко убедиться, что последнее соотношение приводит к формуле (11.2), и сделать следующее заключение:

длина любой мировой линии в 4-мерном пространстве Минковского определяется собственным временем по часам наблюдателя, переме-

2

щающегося вдоль такой линии, и равна ∫ds = c (τ2 −τ1 ) . Наибольшую

1