Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика / mech-lec-TulGU

Его решением является функция ϕ(t) = ϕ0cos(ω0 t +α0 ) , а период колебаний определяется формулой:

M z ≈ −mgd ϕ, пропорциональный угловому отклонению ϕ.

Частным случаем физического маятника является математический маятник – точечная масса, подвешенная

3. Затухающие колебания

В реальной ситуации на осциллятор со стороны окружающей среды всегда действуютG диссипативные силы (вязкого трения, сопротивления

среды) Fсопр = −ηvG, которые замедляют движение. Уравнение движения тогда принимает вид:

Как и в случае незатухающих колебаний, это – общая форма уравнения. Решение уравнения (9.9) ищем в виде x = Aeλt , где A и λ – неиз-

вестные константы. Подставляя это выражение в уравнение (9.9) и сокращая экспоненту, получаем характеристическое уравнение:

λ2 + 2βλ +ω02 = 0 ,

откуда находим

112 Глава 9. Колебания

λ = −β± β2 −ω02 .

Как и в случае незатухающих колебаний, это – общая форма уравнения.

числом. Поэтому необходимо, чтобы само число равнялось его комплекс- но-сопряженному, т.е. x = x* = A*1 e−βt−iωt + A *2 e−βt+iωt , откуда немед-

ленно следует: A1 = A*2 и A 2= A*1 . А так как любое комплексное число

можно представить в виде A1 = A20 e iα , где A 0 и α – постоянные дей-

ствительные числа, то

x (t) = A20 e −βt (ei(ω t+ϕ0 ) +e−i(ω t+ϕ0 ) ).

Используя формулы (9.5), получаем, что при не слишком большом сопротивлении среды ( β< ω0 ) колебания осциллятора совершаются по закону:

ется временем релаксации. Из закона изменения амплитуды следует:

Кроме коэффициента затухания, вводится еще одна характеристика, называемая логарифмическим декрементом затухания – это натуральный логарифм отношения амплитуд (или смещений) через период:

зависит не только от величины квазиупругой силы и массы тела, но и от сопротивления среды.

Поэтому период затухающих колебаний

всегда больше периода незатухающих гармонических колебаний

T0 = 2π . ω0

Теперь обратимся к случаю, когда сопротивление среды велико, т.е. β≥ω 0 . Это происходит, например, когда грузик пружинного маятника

находится в очень вязком веществе (например, в смоле).

В этом случае общее решение уравнения (9.9) представляет собою сумму двух убывающих экспонент (поскольку

λ1, 2 = −β± β2 −ω02 действительные числа):

x(t) = A1 eλ1 t + A2 eλ2 t .

При возвращении осциллятора в положение равновесия никаких колебаний не возника- Рис.9.8 ет, и такое движение осциллятора называется

апериодическим (рис.9.8).

4. Механическая энергия осциллятора

Полная механическая энергия осциллятора складывается из потенциальной энергии, обусловленной наличием консервативной квазиупругой

силы Fx = −k x и равной

осциллятора последняя заменяется на K = I dϕ 2 .

2 dt

Пример: незатухающие колебания гармонического осциллятора

Вывод: полная механическая энергия гармонического осцилля-

тора всегда пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.

При незатухающих колебаниях она сохраняется (неконсервативные силы отсутствуют) и лишь переходит из потенциальной (в момент наибольшего отклонения) в кинетическую (в момент прохождения положения равновесия) и наоборот (рис.9.9).

Для затухающих колебаний

и механическая энергия убывает пропорционально квадрату амплитуды:

E ~ (Ae−βt )2 .

Ее изменение равно работе диссипативных сил сопротивления среды:

x

−∆E = _= ∫ηvdx .

0

нится (рис.9.11,а), но осциллятор будет двигаться по эллипсу в обратном направлении, а в случае ϕ2 = π он будет колебаться вдоль прямой линии

y = −B x A (рис.9.11,б).

При сложении гармонических колебаний траектория осциллятора зависит не только от частот (от действующих квазиупругих сил), но и от начальных фаз и амплитуд, т.е. от начальной скорости и положения осциллятора.

К сожалению, в реальных механических системах (рис.9.10) устойчивой траектории осциллятора в виде фигуры Лиссажу при сложении колебаний с кратными частотами не наблюдается! Для примера рассмотрим висящий пружинный маятник, у которого длина l практически невесомой пружины в положении равновесия такова, что частота малых вертикальных колебаний совпадает с частотой малых горизонтальных колебаний матема-

связанных колебаний, которые возникают при наличии у осциллятора не-

Учет связей очень важен во всех устройствах, где возникают механические колебания. Например, крыло самолета может совершать крутильные и вертикальные (изгибные) колебания (рис.9.13). Передача энергии от одного типа колебаний к другому может вызвать разрушение крыла (флаттер).

5.2 Сложение однонаправленных колебаний осциллятора

Примером такого сложения могут быть колебания мембраны микрофона, на которую одновременно попадают несколько звуковых волн, или грузика на двух пружинках (рис.9.14).

Пусть складываются два гармонических колебания, происходящих вдоль оси x :

x = x1 + x 2 = A1 cos(ω1t +ϕ10 ) + A2 cos(ω2t +ϕ20 )

Аналитически колебания складывать очень неудобно, особенно, когда их не два, а несколько; поэтому часто используется геометрический метод векторных диаграмм.