Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика / mech-lec-TulGU

Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Физика

Файл:

соответствует потенциальной энергии U (x) =

.pdf

Скачиваний:

106

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

3.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Рис.8.23

6. Космические скорости				101
	Как видно из рис.8.22,			максимальный
	угол наклона к горизонту, под которым
	может	быть виден	геостационарный
	спутник,	например,	на	широте Тулы
	(β≈ 55o ), составляет		α ≈ 27o . Поэтому
	все спутниковые антенны в Туле ориенти-
Рис.8.22	рованы на юг.
	Второй космической			скоростью vII

называется минимальная скорость, которую следует сообщить спутнику, чтобы он двигался по параболической траектории (рис.8.19), т.е. ушел из сферы притяжения планеты. Ее можно найти из закона сохранения энергии:

	E = K +U =			mvII2	−G	mM	=	0 −0	,
	E = K +U =				−G	r	=	0 −0	,
			2			r		N
								на бесконечности
				вблизи планеты
откуда vII2 =	2G	M	= vI 2 .
откуда vII2 =	2G	r	= vI 2 .
		r

Вблизи поверхности Земли вторая космическая скорость vII ≈11, 2 км/с .

Пример: персонажа одного из рассказов Артура Кларка бросают на Юпитер с поверхности малой планетки-спутника. Так как масса спутника мала, то начальная скорость брошенного тела превысит

вторую космическую скорость vII

для данного спутника. Тело покинет спутник, но упадет ли оно на Юпитер?

Конечно, нет! Точно так же тело, брошенное с Земли к Солнцу со второй космической скоростью, будет лететь вокруг Солнца по новой

эллиптической орбите, показанной на рис.8.23 штриховой линией (сплошная линия на этом рисунке – траектория Земли, по которой Земля движется со скоростью vЗ ≈ 29,9 км/с). Спустя некоторое время, бро-

шенное тело может снова приблизиться к Земле. Поэтому в космонавтике вводят еще и третью космическую скорость – это минимальная скорость, которую должен получить вблизи Земли космический аппарат, чтобы навсегда покинуть пределы Солнечной системы.

102	Глава 8. Гравитационное поле

Если M: – масса Солнца, а a – радиус земной орбиты, то чтобы выйти из поля тяготения Солнца, аппарату, находящемуся на расстоянии a от него, надо сообщить скорость vпараб определяемую законом сохра-

нения	энергии	mv2параб	−G	m M	:	= 0 .	Отсюда	находим:
		2		a

v параб = 42,1 км /с . Но если запускать аппарат в направлении орбитального движения Земли, то 29,9 км/с уже есть; остается сообщить v' = 42,1−29,9 =12, 2 км/с, но предварительно надо вывести аппарат из поля тяготения Земли. Поэтому, применяя еще раз закон сохранения энер-

гии		mvIII2	−G	mMЗ	=	mv '2	, находим окончательно для Земли:
	2			R З
					2
vIII	=16, 7 км/с .

7. Потенциальные кривые

Потенциальной кривой называется кривая зависимости потенциальной энергии частицы от координаты при движении частицы в одномерном

или сферически-симметричном поле, т.е.				зависимости		U =U (x) или
			U =U (r) . С помощью потенци-
			альных кривых можно не только
			качественно описать				движение
			частицы, но и, воспользовавшись
			законами		сохранения,		провести
			некоторые важные расчеты.
				Рассмотрим		одномерное
			движение частицы в поле, потен-
			циальная		кривая	для	которого
			изображена на рис.8.24.
				При анализе движения час-
Рис.8.24			тицы будем использовать:
Рис.8.24		2		1) закон сохранения энергии
	mv	2	+U (x) = E	= const ;
			+U (x) = E	= const ;
2		0
2

2) выражение силы через потенциальную энергию

7. Потенциальные кривые

103

Fx = −∂∂Ux .

Характер движения зависит не только от вида потенциальной кривой, но и от начальных условий, т.е. от заданных в некий нулевой момент

времени значений координаты x0 и скорости v0 частицы, которые и определяют величину E0 .

Сначала проанализируем случай E0 = E10 . Пусть частица движется к началу координат x = 0 . Начиная с точки x0 , потенциальная энергия растет, а кинетическая (а, значит и скорость) убывает, так как их сумма K +U = E01 = const . В точке x1 , где U = E01 , кинетическая энергия и скорость обращаются в нуль; частица останавливается и под действием

силы Fx = −∂∂Ux x=x 1 > 0 начинает двигаться в противоположную сторо-

ну, улетая в бесконечность – такое движение называется инфинитным (дословно – "бесконечным"), а точка x 1 – точкой поворота.

Обратимся теперь к случаю E0 = E02 . Как видно из рис.8.24, для энергии E02 на потенциальной кривой появляются две характерные об-

ласти: область x 2 , x 3 , называемая потенциальной ямой и x 3 , x 4 – потенциальный барьер. Разрешенных областей для движения частицы тоже две: x 4 , ∞ , которая соответствует инфинитному движению (и

рассмотрена выше), и x 2 , x 3 . Так как частица не может находиться в областях x 3 , x 4 и 0, x 2 , где E <U , т.е. K = m2v2 < 0 , то между точками поворота x 2 и x 3 частица будет совершать колебания, не имея возможности вылететь из потенциальной ямы. При этом в точке x 0 сила,

действующая на частицу, будет равна F x = −∂∂Ux x =x 0 = 0 , а скорость

частицы будет максимальной. Такое движение называется финитным ("конечным").

Рис.8.25

104	Глава 8. Гравитационное поле

Аппарат потенциальных кривых очень широко используется во многих разделах физики. На рисунках 8.25–8.27 приведены примеры некоторых потенциальных кривых.

Частица, находящаяся "внутри" потенциальной ямы параболической формы (рис.8.25), под действием квазиупругой силы совершает гармонические колебания.

Падение тела по прямой в шахту, прорытую по диаметру Земли, соответствует, согласно формулам (8.14) и (3.6), потенциальной кривой,

изображенной на рис.8.26. Приобретая максимальную скорость в центре Земли О, тело продолжает движение в другую сторону до остановки, т.е. совершает колебания с центром в точке О. Если же на по-верхности Земли

телу сообщить скорость, большую второй коcмической, то механическая энергия

E = m2v2 −G MmR станет

положительной, и тело вылетит из потенциальной ямы и удалится на

бесконечность.

Рис.8.26

Рис.8.27

Но спутники и кометы, двигаясь в гравитационном поле Земли или Солнца, не только не падают в их центр, но даже не достигают поверхности. Это связано с тем, что реальное движение частицы (спутника) не од-

7. Потенциальные кривые	105
номерно, а двухмерно – траектория полета в поле центра с массой	M

(Земли), как было показано в главе 4, должна быть плоской (рис.8.27,а). Перейдем в полярную систему координат ( r, ϕ, z ) и направим ось

z вдоль сохраняющегося момента импульса L = mvϕ r = const Скорость частицы можно разложить на радиальную vr = drdt и поперечную

vϕ = r ddtϕ составляющие. Тогда сохраняющаяся полная механическая

энергия частицы					mv2		L2
	m	(vr2 +vϕ2 )−	GMm		mv2		L2		GMm
E0 = K +Uгр =				=	r	+		−		.
E0 = K +Uгр =	2		r	=	2	+	2mr2	−	r	.

Исключив угловую переменную ϕ из закона сохранения момента

импульса, приводим задачу к одномерному радиальному движению с так называемой "эффективной" потенциальной энергией

Uэф (r )= −G	Mm	+	L2	, график которой показан на рис.8.27,б.
	r		2mr2

Точки поворота r 1 (перигелий орбиты) и r2 (афелий орбиты) соответствуют наименьшему и наибольшему удалению частицы от центра M при движении по эллиптической траектории ( E0 < 0 ). При E0 = 0 траектория будет параболической, а при E0 > 0 – гиперболической с единственной точкой поворота – перигелием.

Глава 9.

Колебания

1. Гармоническийосциллятор. Условиегармоническихколебаний

Колебаниями называются движения, повторяющиеся во времени. Ес-

ли эти повторения	следуют	через равные промежутки времени, т.е.
x(t +T ) = x(t) , то	колебания	называются периодическими, а интервал

времени T – периодом колебаний. Например, периодически повторяющиеся восходы Луны или Солнца над горизонтом, вызванные ими приливы и отливы и т.п.

Система, совершающая колебания, называется осциллятором (от латинского "oscillare" – колебаться). Колебания, которые совершает система, предоставленная самой себе, называются собственными, а частота колеба-

ний ν =	1	в этом случае – собственной частотой. В случае механических
ний ν =		в этом случае – собственной частотой. В случае механических
	T
колебаний, рассматриваемых в данной					главе, изменяются		координаты
x(t) или размеры колеблющейся системы.
Гармоническими колебаниями называются колебания, происходящие
по синусоидальному или косинусоидальному закону. Например,
			x(t) = A cos(ω t +ϕ0 ) ,				(9.1)
где x(t)	– смещение колеблющейся частицы от положения равновесия,							A –
максимальное смещение, или амплитуда,					ωt +ϕ0 – фаза колебаний,			ϕ0 –
начальная фаза (при t = 0 ), ω = 2πν =				2π	– циклическая частота колебаний.
начальная фаза (при t = 0 ), ω = 2πν =				T	– циклическая частота колебаний.
				T
			Система, совершающая гармонические
			колебания,		называется	гармоническим
			осциллятором. Существенно, что амплитуда
			A и частота ω гармонических колебаний
			постоянны. В механике гармонические
		Рис.9.1	колебания		возникают	при	выполнении
		Рис.9.1	следующего условия:

на частицу (или систему частиц) должна действовать сила или момент сил, пропорциональные смещению частицы из положения равновесия и стремящиеся вернуть ее в положение равновесия. Такая сила (или момент сил) называется квазиупругой (латинское "quasy" – приставка со

1. Гармонический осциллятор. Условие гармонических колебаний			107
	значением "якобы",	“мнимый”); она имеет вид FG = −k rG , где постоян-

	ный коэффициент k	называется квазижесткостью.
	В частности, это может быть и просто упругая сила, приводящая в
колебания пружинный маятник (рис.9.1), колеблющийся вдоль оси			x .

Уравнение движения такого маятника имеет вид:

dvx

d 2 x

x = 0

= −k x

или

+ω0

(9.2)

dt2

где введено обозначение

ω0

(9.3)

Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что решением уравнения (9.2) является функция

x = Acos(ω0 t +ϕ0 ) ,

где A и ϕ 0 – постоянные величины, для определения которых следует задать два начальных условия: положение x(0) = x0 частицы и ее скорость vx (0) =v0 в начальный (нулевой) момент времени, откуда

x0 = Acos ϕ0 ,

A =

= −Aω

sin ϕ

или

t=0

ϕ0 = −arctg

Итак: уравнение (9.2) представляет собой динамическое уравнение любых гармонических колебаний с собственной частотой ω0 . Для

грузика на пружинке ω0 определяется формулой (9.3), следовательно, периодом колебаний пружинного маятника будет

T =	2π	= 2π	m	.	(9.4)

	ω0		k

Часто, для удобства вычислений, решение уравнения гармонических колебаний записывают в комплексной форме. Напомним, что комплекс-

ным числом называется выражение вида z = x +iy , где i = −1 так называемая мнимая единица. Число, отличающееся знаком перед мнимой частью, т.е. z* = x −iy называется комплексно-сопряженным числу z .

108

Глава 9. Колебания

Любое комплексное число можно изо-

бразить точкой или радиус-вектором на

комплексной плоскости (рис.9.2). Длина та-

кого вектора равна модулю комплексного

числа

ρ =

x2 + y2 , а угол наклона к

действительной

оси равен аргументу ϕ =

= arctg (y x).

Комплексное

число можно

Рис.9.2

записать в следующих формах:

z =ρ(cos ϕ+isin ϕ)=ρeiϕ,

z* =ρ(cos ϕ−isin ϕ)=ρe− iϕ.

Эти формулы называются формулами Муавра. Из них следует, что

cos ϕ =

eiϕ +e−iϕ

sin ϕ =

eiϕ −e−iϕ

;

(9.5)

2 i

Тогда cos ϕ = Re eiϕ (действительная часть комплексного числа eiϕ), и функцию (9.1) можно записать в виде

x(t) = Re Aei(ωt+ϕ0 ).

(9.6)

В заключение этого параграфа заметим, что большинство периодических процессов в реальных системах гармоническими не являются. Так, из-за наличия диссипативных сил трения амплитуда смещения колеблющейся частицы должна уменьшаться со временем:

x(t) = Ae−βt	cos (ω t +ϕ	0	) ,	где β = const .
		0

амплитуда	фаза
Эти колебания не только не гармонические, но и не периодические,
так как x(t +T ) ≠ x(t) . И все			же	повторяемость движений очевидна

(рис.9.3,в), и подобные колебания, называемые затухающими, попрежнему характеризуют периодом T = 2πω. Рассматривают даже дви-

жения, не повторяющиеся регулярно, т.е. не имеющие постоянного перио-

да T (рис.9.3,г). Их называют случайными колебаниями.

Тем не менее, принципиальная важность изучения именно гармонических колебаний связана с тем, что любую периодическую функцию

x(t) с периодом T = 2πω (рис.9.3,б), для которой существует интеграл

+T 2

∫x(t) dt можно представить в виде бесконечного ряда Фурье:

−T 2

1. Гармонический осциллятор. Условие гармонических колебаний		109
	∞
x(t) = A0 + ∑A n cos(nω t		+ϕ0 n ),
	n=1
т.е. в виде суперпозиции (суммы) про-
стых гармонических колебаний с по-
стоянными	амплитудами	A n и
циклическими частотами ω n = nω=
= 2πn T .
Любые	непериодические функ-

ции (рис.9.3,в,г), для которых сущест-

+∞

вует интеграл ∫ x(t) dt , записыва-

−∞

ются в виде интеграла Фурье:

x(t) = 1 +∞∫ A(ω) eiωt dω,

2π−∞

как суперпозиция бесконечного числа гармонических колебаний (9.6).

Кроме того, отметим следуюРис.9.3 щее: согласно формуле (3.11), квазиупругая консервативная сила

т.е. гармонические колебания может совершать только частица, находящаяся в потенциальной яме параболической формы (рис.8.25).

Если зависимость U (x) другая, то колебания осциллятора не могут

быть гармоническими. Однако к потенциальной энергии U (x) всегда
	можно добавить постоянную величину, а нача-
	ло координат сместить так, чтобы минимум
	потенциальной кривой приходился на значение
	U (0) =0 (рис.9.4).
	Разложим теперь функцию U (x) в ряд
	Тейлора вблизи точки x = 0 и ограничимся
Рис.9.4	первым ненулевым членом ряда:
Рис.9.4

110

Глава 9. Колебания

U (x) =U (0)

x +

1 d 2U

+0(x3 ) ≈

k x2

x=0

=0 в точке минимума

Оказывается, что в случае любой зависимости U (x) , т.е. в поле любой

консервативной силы, малые собственные колебания частицы вблизи положения равновесия, соответствующему минимуму потенциальной энергии, будут гармоническими! При этом коэффициент квазижесткости

осциллятора в формулах (9.3) и (9.4) будет равен	k =	d 2U	.
осциллятора в формулах (9.3) и (9.4) будет равен	k =	dx2	.
		dx2	x=0
			x=0

2. Физический и математический маятники

Физический маятник – это любое физическое тело, совершающее колебания вокруг оси подвеса, не проходящей через центр масс, в поле сил тяжести (рис.9.5).

		Пусть горизонтальная ось проходит через точку
	подвеса О, находящуюся на расстоянии d от центра масс
	(центра тяжести) С. Уравнение (4.6) вращательного дви-
	жения маятника в проекции на ось вращения z (направ-
	ленную от нас) имеет вид: I0							dω	= M z или, так как M z =
	ленную от нас) имеет вид: I0								= M z или, так как M z =
								dt
	= −mg d sin ϕ			, то	d 2ϕ	+ω	02 sin ϕ = 0 . Здесь
	= −mg d sin ϕ			, то		+ω	02 sin ϕ = 0 . Здесь
					dt2
		плечо силы
Рис.9.5	ω02=	mgd	, где I0 – момент инерции тела относительно
Рис.9.5	ω02=		, где I0 – момент инерции тела относительно
		I0

оси подвеса, d – расстояние от оси подвеса до центра масс тела. Отсюда следует, что колебания физического маятника будут гармо-

ническими только, если sin ϕ ≈ ϕ , т.е. при малых углах отклонения.

Итак: для малых амплитуд уравнение колебаний физического маятника принимает вид

d 2ϕ +ω2 ϕ = 0 . dt2 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика

#
02.05.20143.9 Mб106mech-lec-TulGU.pdf
#
02.05.20143.32 Mб597mech-zad-TulGU.pdf