![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Основные преобразования, не меняющее уравнение:
Добавить или вычесть из обеих частей уравнения одинаковое число или выражение
Умножить или поделить обе части уравнения на НЕНУЛЕВОЕ число или выражение
Пример 1: Решить уравнение
Решение: Чтобы неизвестная осталась с одной стороны, вычтем из обеих частей 7
■
Пример 2. Решить уравнение
Решение: В соответствии с определением умножения 2 умножить на (а + 3) означает сложить 2 скобки (а + 3):
Тогда исходное уравнение примет вид:
■▲
Вопрос
3.
Дать
определение числовым множествам
.
Для каждого числового множества
определить отношения (содержится,
содержит, не имеет общих членов) со всеми
остальными числовыми множествами. ■
Определение.
Числа 1, 2, 3,
4… (каждое последующее число получается
из предыдущего прибавлением 1) называются
натуральными числами. Все множество
натуральных чисел обозначается
.
■
Определение.
Числа … -4,
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… (то есть это все натуральные
числа, им противоположные, а также 0)
называются целыми числами. Все множество
целых чисел обозначается
.
■
Определение.
Числа, которые можно представить, как
отношение
,
где а
– некоторое целое число, b
– некоторое натуральное число, называются
рациональными. Множество всех рациональных
чисел обозначается
.
■
Определение.
Множество всех чисел, которые можно
представить как десятичную дробь
(конечную или бесконечную), называется
множеством действительных чисел.
Обозначение этого множества:
■
Определение.
Числа, которые
являются действительными, но НЕ являются
рациональными, называются иррациональными.
Обозначение множества иррациональных
чисел:
■
Определение. Запись
означает, что все элементы множества А являются элементами множества В. Читается это выражение как: «Множество А является подмножеством множества В» ■
Свойство оператора
«
»:
Если
,
тогда
.
■
Отношения между числовыми множествами:
Пояснение к первому выражению: все натуральные и целые числа можно представить в виде простой дроби, поделив эти числа на 1. Получится дробь с целым числителем и натуральным знаменателем. А это означает, что это рациональное число. Значит, все натуральные и целые числа являются рациональными.
Пояснение к
последнему выражению:
означает пустое множество, «
»
– это оператор пересечения. То есть
означает,
что множества иррациональных и
рациональных чисел не имеют общих
элементов.▲
Вопрос 4. Описать:
алгоритмы сложения двух обыкновенных дробей;
алгоритмы умножения обыкновенной дроби на число, умножения обыкновенной дроби на другую обыкновенную дробь;
алгоритмы деления обыкновенной дроби на число, деления обыкновенной дроби на другую обыкновенную дробь. ■
a. Определение. Запись отношения целого числа а к натуральному числу b в виде называется обыкновенной дробью. ■
Если у нас есть
две дроби
и
,
то для их сложения необходимо привести
их к общему знаменателю. НЕЛЬЗЯ напрямую
складывать дроби с разными знаменателями.
Чтобы изменить знаменатель дроби без изменения самой дроби надо домножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число.
Например, если
надо, чтобы у дроби
знаменатель стал равен 15, то надо
домножить числитель и знаменатель на
5:
.
Чтобы сложить дроби и надо сделать, чтобы у этих дробей был один знаменатель. Для этого находим Наименьшее Общее Кратное знаменателей b и d. Пусть для этих дробей оно равно m. Пусть при этом
m = k∙b
m = l∙d
Тогда домножаем числитель и знаменатель дроби на k, а числитель и знаменатель дроби домножаем на l. Тогда получим:
■
b.
Запись
означает то же самое, что и
(см. определение обыкновенной дроби в
ответе на пункт а.). Тогда мы можем
записать это как
При таком подходе становится очевидно, что если у произведения а∙с и b есть общие множители, то их можно взаимно сократить.
Теперь произведение
дробей.
означает
■
с. Чтобы понять операции деления для дробей снова запишем дробь по ее определению в качестве выражения «числитель разделить на знаменатель». Тогда если мы разделим дробь на число, получим следующее:
Теперь разделим дробь на дробь:
Почему здесь
дробь
была перевернута, когда на нее поделили.
Разберем, что такое деление на дробь. Процедура похоже на те, когда выясняется, что такое отрицательная степень, что такое дробная степень и т. п. То есть мы предполагаем, что деление на дробь возможно, и должно выполняться основное свойство, связанное с тем, что рассматривается.
Итак, не ограничивая
общности, будем рассматривать натуральные
числа a,
b,
c.
Допустим, что результатом деления числа
a
на дробь
будет число d:
Найдем это число d. Домножим обе части на дробь :
Теперь ничего незнакомого не осталось. Домножим обе части на с и поделим на b:
Получается, что:
Таким образом, получается, что деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (то есть перевернутую) дробь.
■▲
Вопрос 5. Дать определение возведения в целую степень действительного числа. ■
Нам надо определить,
что такое
,
где
,
.
Сначала рассмотрим k > 0. То есть k – натуральное число.
Тогда по
определению
Для дальнейшего
ответа рассмотрим выражение
:
Получается, что
для случая
мы можем записать свойство:
Распространяя это
свойство на остальные m
и n,
получается, что в случае
а для
Поскольку
,
то
.
И обозначив это натуральное число через
,
получаем:
▲
Вопрос
6. Дать
определение извлечению корня натуральной
степени из действительного числа.
Записать
как число
в некоторой степени.■
Нам надо определить,
что такое
, где
,
.
Определение. называется такое число, что
=
или
Причем:
1) Если n – четное число, то а не может быть отрицательным. Нет такого действительного числа, которые мы могли бы возвести в квадрат или любую другую четную степень и получить отрицательное число.
2) Если n – нечетное число, то а может быть любым действительным числом.■
Для того, чтобы
представить корень в виде степени,
обратимся к свойству
(см. Вопрос 10) и распространим его за
пределы натуральных чисел. Допустим,
что извлечение корня можно представить
как возведение в некоторую степень:
Тогда согласно определению корня:
Значит,
В итоге,
▲
Вопрос 7. Дать определение возведению в рациональную степень положительного действительного числа. ■
Определение.
, где
,
,
.
означает:
Обоснование того, что
см. в Вопросе 6.■▲
Вопрос 8. Дать определение степенной функции. ■
Степенной функцией
называется функция вида
,
■▲
Вопрос
9.
Доказать, что
и
являются иррациональными числами. ■
Ни 2, ни 10 не являются полным квадратом ни одного натурального числа (таковыми являются 1, 4, 9, 16, 25 и т. д.). Тогда квадратный корень из них не может быть натуральным числом. Значит, если они рациональные, то они могут быть представимы в виде НЕсократимой дроби. Рассмотрим 2.
Допустим
– это рациональное число, то есть
,
,
Возведем в квадрат обе части этого равенства:
Поскольку – несократимая дробь, то мы получаем, что «2 = несократимая дробь». Это противоречие. Это означает, что наше допущение о том, что 2 – это рациональное число, неверно. Аналогично можно поступить и с 10, и с любым другим числом, которое не является полным квадратом. ■▲