2.2. Организация материально-технического снабжения производства (закупок сырья)

Содержательная постановка задачи. Для производства товара используется сырье, потребность в котором определяется производственной программой.

В зависимости от объемов и сроков поставок партий сырья, типа груза и требований, предъявляемых к нему, а также надежности поставок, осуществляется выбор вида транспорта по критерию минимума совокупных затрат в процессе товародвижения.

Для выбора моментов предъявления заказов на пополнение запасов сырья выбирается динамическая модель в виде процесса с периодом, равным году и временным интервалом, равным 12/m, с учетом динамики расходования сырья и изменения стоимостных параметров во времени.

Математическая постановка задачи. Обозначим через - объем поставки сырья в момент времени t, т; - расход данного вида сырья на складе в момент времени t, т; G_t - затраты на доставку партии заказа, р.; - затраты на хранение единицы запаса в единицу времени, р./т; - стоимость 1 т груза, р.; - удельные затраты на проведение погрузочно-разгрузочных работ, р./т.

Тогда суммарные затраты в единицу времени, которые необходимо свести к минимуму, определятся из выражения:

при ограничениях:

• на вместимость хранилищ склада

; (3.7)

• по загрузке транспортных средств

; (3.8)

• на неотрицательность переменных

; (3.9)

где - текущий уровень запасов сырья на складе потребителя в момент времени t, т; - максимальная вместимость склада, т; - страховой уровень запасов для обеспечения бесперебойной работы предприятия на случай возможной задержки поставки, т; - вместимость одного автомобиля заданной грузоподъемности для доставки сырья потребителю, т; - количество автомобилей для перевозки сырья потребителю.

Для снижения затрат на доставку перевозка заказанного сырья производится целым количеством автомобилей.

В модели учитываются также скидки с цены на продукцию, зависящие от объемов поставки. Используя систему скидок, оптовую цену на сырье можно описать выражением:

при _u  q_t  _u, u = , (3.10)

где n – общее число диапазонов объемов поставок, где действует скидка; - скидка с оптовой цены (%), которая действует в диапазоне от минимального до максимального объема поставки.

Данная задача также может быть решена методом динамического программирования. Обозначим через суммарные затраты за периоды с 1 по t при оптимальной политике поставок сырья. Тогда оптимальное решение можно получить с помощью рекуррентных соотношений

(3.11)

где , (3.12)

, (3.13)

; (3.14)

(3.15)

. (3.16)

Начальные условия: .

Задание. Потребность в сырье за год зависит от производственной программы, представленной в табл. 3.4. Для доставки сырья используются автомобили грузоподъемностью g = 10 т. Количество их не ограничено. Емкость склада составляет 250 т. Текущий запас на складе на момент начала наблюдения I₀ равен 50 т. Страховой запас составляет 5 т. Задержки поставки отсутствуют. Исходные данные по транспортным тарифам , стоимости товара , затратам на хранение и погрузочно-разгрузочные операции , меняющиеся в течение года, приведены в табл. 2.5.

Исходные данные за год

t	Gt, р.	, р./т	, р./т	, р./т
1	1100,2	435,6	23,8	48,1
2	1182	468,1	23	51,7
3	1485,3	588,7	32,1	64,6
4	1365,9	539,9	32,3	59,8
5	1592,7	631	34,7	69,7
6	1348,8	534,2	29,4	59

Таблица 2.5

Система скидок выглядит следующим образом: при закупках сырья в объеме от 4 до 10 т поставщик делает скидку в 2 %, от 11 до 25 т - 3 %, от 26 до 40 т - 5 %, от 41 до 80 т - 7 %, свыше 80 т - 10 %.

Решение. Используя перечисленные выше экономические и технологические параметры, определим оптимальные объемы поставок сырья в течение года.

Суммарный спрос за год, в соответствии с табл. 3.4, составляет = 160 т. Так как поставки осуществляют полностью загруженными автомобилями, то данная сумма должна делиться нацело на 10, т.е. границы

изменения для от 0 до 160 т с шагом 10 т.

Для 1-го периода: I₁ = I₀ – y₁ + q₁ = 50 – 33 + q₁ =17 + q₁ > I_стр = 5. Будем считать, что при недостаточном количестве сырья предприятие несет убытки в 100 раз выше, чем составляет экономия от сокращения запасов.

При с = 0 и q₁ = 0 получаем:

f₁(0 -0) =G₁(0)+ ^.0 + ^.0 + ^.I₁ + f₀(0–0)= 0+0+0+55,5*22+0 =1177 р.

Для с = 0 – это единственные значения f₁(c) и q₁, поэтому они должны быть признаны оптимальными.

При = 10 и q₁ = 0 значение f₁(10 - 0) будет равно f₁(0 - 0) и составит также 1177 р. Аналогично будет обстоять дело и для всех остальных с, т.е. f₁(0 - 0) = =f₁(10-0) = f₁(20 - 0) = … = f₁(140 - 0) = 1177 р.

При формировании партии поставки в 10 т можно использовать 1 автомобиль, и предоставляется скидка с цены в размере 2%, поэтому при с = 10 и q₁ = 10 имеем: f₁(10 - 10) = G₁(10) + 0,98* ^.10 + ^.10 + ^.I₁ + f₀(10 – 10) = 11689^.1 + 488.2^.10 + 26,7^.10 + 55,5*(22*10) = 8023,8р.

Так как должно быть выбрано минимальное для данного с значение, то имеем 8023,8 р. и 10. Аналогично проводятся расчеты для всех и q₁ в пределах 1-го периода. Полученные данные приведены в табл. 2.6.

Значения , соответствующие минимальным значениям f₁(c) для всех от 0 до 160 составляют … = q₁(140) =10, т.е. q₁ = 10 является оптимальным значением партии поставки в 1-ом периоде.

Таблица 2.6

Значения функции f₁(c)

t	c	qt	ft(c)	t	c	qt	ft(c)	t	c	qt	ft(c)
1	0	0	817,7	1	80	0	817,7	1	140	0	817,7
1	10	0	817,7	1	80	10	6992,9	1	140	10	6992,9
1	10	10	6992,9	…	…	…	…	…	…	…	…
1	20	0	817,7	1	80	70	44044,1	1	140	130	81095,3
1	20	10	6992,9	1	80	80	50219,3	1	140	140	87270,5
1	20	20	13168,1	1	90	0	817,7	1	150	0	817,7
1	30	0	817,7	1	90	10	6992,9	1	150	10	6992,9
1	30	10	6992,9	…	…	…	…	…	…	…	…
1	30	20	13168,1	1	90	80	50219,3	1	150	140	87270,5
1	30	30	19343,3	1	90	90	56394,5	1	150	150	93445,7
1	40	0	817,7	1	100	0	817,7	1	160	0	817,7
1	40	10	6992,9	1	100	10	6992,9	1	160	10	6992,9
1	40	20	13168,1	…	…	…	…	…	…	…	…
1	40	30	19343,3	1	100	90	56394,5	1	160	150	93445,7
1	40	40	25518,5	1	100	100	62569,7	1	160	160	99620,9
1	50	0	817,7	1	110	0	817,7	1	170	0	817,7
1	50	10	6992,9	1	110	10	6992,9	1	170	10	6992,9
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
1	50	40	25518,5	1	110	100	62569,7	1	170	160	99620,9
1	50	50	31693,7	1	110	110	68744,9	1	170	170	105796,1
1	60	0	817,7	1	120	0	817,7	1	180	0	817,7
1	60	10	6992,9	1	120	10	6992,9	1	180	10	6992,9
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
1	60	50	31693,7	1	120	110	68744,9	1	180	170	105796,1
1	60	60	37868,9	1	120	120	74920,1	1	180	180	111971,3
1	70	0	817,7	1	130	0	817,7	1	190	0	817,7
1	70	10	6992,9	1	130	10	6992,9	1	190	10	6992,9
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
1	70	60	37868,9	1	130	120	74920,1	1	190	180	111971,3
1	70	70	44044,1	1	130	130	81095,3	1	190	190	118146,5

При расчетах для 2-го периода имеем: I₂ = I₁ – y₂ + q₂ =25 – 22 + q₂ = -2+ q₂, а значит, будем считать:

f₂(0 - 0) = f₂(10 – 0) = f₂(20 – 0) = … = f₂(1160 – 0) = G₂(0) + ^.0 + ^.0 + + I₂ + f₁(0 – 0) = 0 + 0 + 0 + 57,4*7*50^.+ 1177 = 21267 р.

При поставке сырья в количестве 10 т ограничение (3.7) начинает выполняться (-7 + 10 = 3 < 5). Имеем:

f₂(10 – 10) = f₂(20 – 10) = … = f₂(140 – 10) = 1249,3*1+524,5*10+26,7*10+57,4*3*50+8023,8 = 15244,3 р.

Дальнейшее увеличение партии поставки приведет к росту функции f₂(с), поэтому на этом можно остановиться.

Минимальное значение функции f₂(c) для 2-го периода составляет 21267 р. и соответствует партии поставки q₂ = 10 т, которая и должна быть признана оптимальной для этого этапа.

Аналогично просчитываются этапы с 3-го по 6-й. Результаты расчетов сведены в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Значения функции

t	c	qt	ft(c)	t	c	qt	ft(c)	t	c	qt	ft(c)
1	0	0	817,7	3	2 0	20	97809	5	2 0	20	144232,3
1	10	0	817,7	3	30	30	78107,6	5	30	30	126599,7
1	20	0	817,7	3	40	40	78107,6	…	…	…	…
…	…	…	…	…	….	….	….	5	1 60	30	126599,7
1	3 0	0	817,7	3	9 0	40	78107,6	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…		5	170	30	126599,7
1	180	0	817,7	3	180	40	78107,6	5	180	30	126599,7
1	190	0	817,7	3	190	40	78107,6	5	190	30	126599,7
2	0	0	44762,7	4	20	20	128558,9	6	20	20	157856,1
2	10	10	31180,9	4	30	30	103572,3	6	30	30	146449,5
2	20	20	25767,7	…	…	…		6	40	30	146449,5
…	…	…	…	4	1 30	40	103497,7	6	50	30	146449,5
2	5 0	20	25767,7	…	…	…		…	…	…
…	…	…	…	4	170	40	103497,7	6	170	30	146449,5
2	180	20	25767,7	4	180	40	103497,7	6	180	30	146449,5
2	190	20	25767,7	4	190	40	103497,7	6	1 90	30	146449,5

Минимальные затраты при оптимальной политике поставок сырья составят f₆(190) = 146449,5 р. Используя данные табл. 2.7 и двигаясь в обратном направлении, т.е. от 6-го до 1-го периода, получим план поставок сырья на год. Например, функции f₆(190) по табл. 2.7 соответствует значение q₆ = 30т.

На следующих шагах принимается: f₅(160 - 30) и получаем q₅ = 30 т, затем f₄(130- 40) – q₄ = 40 т и т.д. Результаты расчетов при оптимальной политике поставок сырья приведены в табл.2.8.

Таблица 2.8

Результаты расчетов за год

t	Спрос , т	Текущий уровень запаса , т	Объем поставки , т	Затраты нарастающим итогом, р.
1	33	17	0	817,7
2	29	8	20	25767,7
3	41	7	40	78107,6
4	28	19	40	103497,7
5	28	21	30	126599,7
6	24	27	30	146449,5