2. Методические указания по выполнению курсовой работы

2.1. Организация производства готовой продукции

Содержательная постановка задачи. На производственное предприятие периодически в течение года согласно графику поступают заказы на производство продукции в соответствии со спросом. Если предприятие не может выполнить эти заказы, оно терпит убытки от недополученной прибыли. Если известны зависимости затрат (убытков) от неудовлетворения спроса и от переизбытка запасов, то можно установить оптимальную политику выпуска готовой продукции, при которой суммарные издержки по производству и запасам будут минимальными.

Математическая постановка задачи. Обозначим через спрос, а через - необходимую производительность предприятия в k-м периоде, , где m – число заказов, поступающих в течение года (периоды). При этом - некоторый фиксированный начальный уровень производства. Для своевременного выполнения заказов требуется, чтобы спрос всегда удовлетворялся, т.е. .

В соответствии с вышеизложенным, введем две функции убытков:

а) - убытки в k-м периоде, вызванные тем, что производство превышает спрос и появляются излишние запасы ( , );

б) - убытки в k-м периоде, вызванные неравномерностью производственной программы по месяцам ( , ).

Таким образом, первая функция (g_k) определяет убытки от перепроизводства продукции, вторая (h_k) - убытки, связанные с изменением уровня запасов или обслуживания.

Тогда целевая функция может быть записана в виде:

(3.1)

при ограничениях

. (3.2)

Данная задача может быть решена методом динамического программирования. Обозначим через суммарные издержки при оптимальной производственной программе на год, если до конца планируемого периода остается k периодов. Тогда оптимальное решение можно получить с помощью следующих рекуррентных соотношений:

, (3.3)

где , (3.4)

. (3.5)

Начальные условия: и .

Задание. По прогнозу ожидается получение заказов 6 раз в течение года в объемах, приведенных в табл. 2.1. Требуется установить оптимальную производственную программу на год.

Решение. Функцию издержек вследствие перепроизводства продукции принимают равной g_k(z_k – r_k) = 2(z_k – r_k) + 10, k = . Затраты на увеличение производительности предполагают равными этому увеличению h_k(z_k – с) = 3а, где , а затраты на уменьшение производительности - равными нулю.

Таблица 2.1

Динамика спроса за год

k	1	2	3	4	5	6
rk, т	33	29	41	27	28	24

Расчет начинаем с конца, т.е. с 6-го периода. Так как r_k = r₆ = 24 т, r_k-1 = r₅= 28 т, и max r_k = 41 т, то из (3.4) и (3.5) получаем :28 ≤ c ≤ 41,24 ≤ z₆ ≤ 41. Алгоритм расчета следующий: фиксируем = 28т и перебираем значения от минимального (20 т) до максимального (41 т). Имеем:

_c=28 ; z₆=24; a = 13 : f₆(28) =2*(24 – 24)+10+ f₇(24) = 10 +3*0 +0 =10;

z₆ = 25 : f₆(28) = 2*(25 – 24)+10+ f₇(25) = 12 + 3 *0 + 0 = 12;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

z₆ = 41 : f₆(28) = 2*(41 – 24)+10 + h₆(11) + f₇(41) = 44 + 3*13 + 0 = 83.

На втором этапе увеличиваем на единицу и повторяем расчеты до с = 24. Результаты расчетов сведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Значения функции f₆(c)

k	c	a	zk	f6(c)	k	c	a	zk	f6(c)	k	c	a	zk	f6(c)
6	28	13	24	10	6	32	9	24	10	6	36	5	24	10
6	28	13	25	12	6	32	9	25	12	6	36	5	25	12
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	28	13	29	59	6	32	9	29	20	6	36	5	29	20
6	28	13	30	61	6	32	9	30	22	6	36	5	30	22
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	28	13	41	83	6	32	9	41	71	6	36	5	41	59
6	29	12	24	10	6	33	8	24	10	6	37	4	24	10
6	29	12	25	12	6	33	8	25	12	6	37	4	25	12
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	...	…	…	…	…
6	29	12	29	20	6	33	8	29	20	6	37	4	29	20
6	29	12	30	58	6	33	8	30	22	6	37	4	30	22
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	29	12	41	80	6	33	8	41	68	6	37	4	41	56
6	30	11	24	10	6	34	7	24	10	6	38	3	24	10
6	30	11	25	12	6	34	7	25	12	6	38	3	25	12
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	30	11	29	20	6	34	7	29	20	6	38	3	29	20
6	30	11	30	22	6	34	7	30	22	6	38	3	30	22
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	30	11	41	77	6	34	7	41	65	6	38	3	41	53
6	31	10	24	10	6	35	6	24	10	6	39	2	24	10
6	31	10	25	12	6	35	6	25	12	6	39	2	25	12
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	31	10	29	20	6	35	6	29	20	6	39	2	29	20
6	31	10	30	22	6	35	6	30	22	6	39	2	30	22
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	31	10	41	74	6	35	6	41	62	6	39	2	41	50

6	40	1	24	10	6	41	0	24	10
6	40	1	25	12	6	41	0	25	12
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	40	1	29	20	6	41	0	29	20
6	40	1	30	22	6	41	0	30	22
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	40	1	41	47	6	41	0	41	44

Из табл.3.2 видно, что для каждого значения с минимальное значение функции достигается при z₆(c) = 20, при этом f₆(c) принимает значения равные 10. Эти значения z должны быть признаны оптимальными для соответствующих с при k = 6. Они заносятся в табл. 3.3, которая в дальнейшем будет использована для определения оптимальной программы производства.

Затем переходим к расчетам с 5-го по 1-й период включительно. Для 5-го периода из (3.4) и (3.5) имеем: 22 ≤ c ≤ 34, 23 ≤ z₅ ≤ 34.

_{с =27; а = 14,}z₅ =28: f₅(22) =2*(28 – 28)+10+ h₅(12)+f₆(28)=20 +3*14 +10 = 62;

z₅ = 29: f₅(22) = 2*(29 – 28)+10+ h₅(12) + f₆(29)=22 + 3*14 + 10 = 64;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

с = 28; а = 13; z₅ = 28: f₅(22) = 2*(28 – 28)+10+ f₆(40) =20 +10= 20;

z₅ = 29: f₅(20) = 2*(29 – 28)+10+ h₅(11) + f₆(41)= 22 + 3*13 + 10 = 61, и т.д. Результаты всех дальнейших расчетов при различных и , соответствующие минимальным значениям , до 1-го периода включительно представлены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Значения функций f₆(с) – f₁(c)

k	c	zk	fk(c)	k	с	zk	fk(c)	k	c	zk	fk(c)
6	2 8	24	10	4	4 1	28	22	2	4 1	29	44
…	…	…	…	3	2 9	41	68	1	0	33	177
6	34	24	10	…	…	…	…	1	1	33	174
…	…	…	…	3	35	41	50	…	…	…	…
6	41	24	10	…	…	…	…	15	33	132	15
5	27	28	62	3	41	41	32	16	33	129	16
5	2 8	28	20	2	3 3	29	44	17	33	126	17
…	…	…	…	2	34	29	44	…	…	…	…
5	34	28	20	2	35	29	44	30	33	87	30
5	35	28	20	2	36	29	44	31	33	84	31
…	…	…	…	2	37	29	44	…	…	…	…
5	41	28	20	2	38	29	44	1	41	3 3	54

Минимальные издержки при оптимальной политике выпуска продукции составляют, как это видно из табл. 3.3, f₁(41) = 54. Используя данные табл. 3.3 и двигаясь в обратном направлении, т.е. от 1-го до 6-го периода, можно получить производственную программу на год. Для оптимального значения f₁(41) = 54 по табл. 3.3 определяется значение z₁, соответствующее f₁(42). Оно составляет z₁ = 38. По этому значению определяется функция f_k(c) для 2-го

периода, т.е. f₂(33), для которого z₂ = 29; соответственно функции f₃(29) соответствует z₃ = 41; f₄(41) – z₄ = 28; f₅(28) - z₅ = 28; f₆(28) – z₆ = 24. Порядок выбора показан стрелками в табл. 2.3. Полученная таким образом производственная программа за год представлена в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Производственная программа за год

k	1	2	3	4	5	6
rk, т	33	29	41	28	28	24
zk, т	33	29	41	28	28	24