Лекція 4.
Модифікація лінійних моделей
Метод штучного базису.
Двоїстий симплекс-метод.
Метод Гоморі.
1. Метод штучного базису
(1)
(2)
(3)
Для
отримання одиничної матриці необхідно
до кожного рівняння в системі обмежень
задачі додати одну змінну
.
Ці змінні називають штучними.
- (2) не містить жодного одиничного вектора:
(4)
Задачу з системою обмежень (4) називають розширеною, або М-задачею.
У результаті процедур симплексних перетворень виключалися з базису штучні змінні – їх вводять у цільову функцію з від’ємними коефіцієнтами:
(
)
-
процедура симплексного методу одразу
вилучає відповідні змінні з базису і
забезпечує знаходження плану, в якому
всі штучні змінні
.
-
якщо в оптимальному плані розширеної
задачі існує хоча б одне значення
,
то це означає, що початкова задача не
має розв’язку, тобто система обмежень
несумісна.
- у таблиці оцінкові рядки поділені на дві частини-рядки: (m+2)-му рядку записують коефіцієнти з М,
(m+1)-му — ті, які не містять М.
Вектор, який підлягає включенню до базису, визначають за (m+2) рядком.
Ітераційний процес по (m+2) рядку проводять до повного виключення всіх штучних змінних з базису, потім процес визначення оптимального плану продовжують за (m+1) рядком.
Теорема
1. Якщо
в оптимальному плані
розширеної
задачі штучні змінні
,
то план
є оптимальним планом початкової задачі.
Випадки.
1.
Якщо в оцінковому рядку останньої
симплексної таблиці оцінка
відповідає вільній (небазисній) змінній,
то це означає, що ЗЛП має альтернативний
оптимальний план.
2.
Якщо при переході у симплекс-методі від
одного опорного плану задачі до іншого
в напрямному стовпчику немає додатних
елементів
,
то це означає, що цільова функція задачі
лінійного програмування є необмеженою
й оптимальних планів не існує.
3.
Якщо для опорного плану задачі лінійного
програмування всі оцінки
задовольняють умову оптимальності, але
при цьому хоча б одна штучна змінна є
базисною і має додатне значення, то це
означає, що система обмежень задачі
несумісна й оптимальних планів такої
задачі не існує.
Приклад 1.
Розв’язати задачу ЛП методом штучного базису.
Канонічна форма даної ЗЛП:
Векторна форма запису ЗЛП наступна:
д
е
,
.
М-задачу:
за умов:
- базисними змінними є х5, х6, х8, а решта змінних вільні.
Початковий опорний план задачі:
і |
Ба-зис |
Сбаз |
Опор-ний план В |
8 |
10 |
0 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
- М |
θ |
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
|||||
1 |
А5 |
0 |
450 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
А6 |
0 |
380 |
3 |
2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
А8 |
- М |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
і |
Ба-зис |
Сбаз |
Опор-ний план В |
8 |
10 |
0 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
- М |
θ |
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
|||||
1 |
А5 |
0 |
450 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
А6 |
0 |
380 |
3 |
2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
А8 |
- М |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
0*450+0*380=0 |
0*2+0*3-8=-8 |
-10 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
-9М |
0 |
0 |
-М |
0 |
0 |
0 |
М |
0 |
|||
і |
Ба-зис |
Сбаз |
Опор-ний план В |
8 |
10 |
0 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
- М |
θ |
А1 |
А2 |
А3↓ |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
|||||
1 |
А5 |
0 |
450 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
450/4=112,5 |
2 |
А6 |
0 |
380 |
3 |
2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
380 |
3 |
А8 |
- М |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
9 MIN |
|
|
0 |
-8 |
-10 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
-9М |
0 |
0 |
-М |
0 |
0 |
0 |
М |
0 |
|||
і |
Ба-зис |
Сбаз |
Опор-ний план В |
8 |
10 |
0 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
- М |
θ |
|
А1 |
А2 |
А3↓ |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
||||||
1 |
А5 |
0 |
450 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
112,5 |
|
2 |
А6 |
0 |
380 |
3 |
2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
380 |
|
3 |
А8 |
- М |
9 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
9 |
|
|
|
0 |
-8 |
-10 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||
|
-9М |
0 |
0 |
-М |
0 |
0 |
0 |
М |
0 |
||||
і |
Ба-зис |
С |
Опор-ний план В |
8 |
10 |
0 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
- М |
θ |
А1 |
А2 |
А3↓ |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
|||||
1 |
А5 |
0 |
450 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
А6 |
0 |
380 |
3 |
2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
А3 |
0 |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
(-1) до 2 ряд. (-4) до 1 ряд. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
баз
і |
Ба-зис |
Сбаз |
Опор-ний план В |
8 |
10 |
0 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
- М |
θ |
|
А1 |
А2↓ |
А3 |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
||||||
1 |
А5 |
0 |
414 |
2 |
|
0 |
2 |
1 |
0 |
4 |
-4 |
414/3=138 |
|
2 |
А6 |
0 |
371 |
3 |
2 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
371/2=185,5 |
|
3 |
А3 |
0 |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
-8 |
-10 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
М |
||||
і |
Ба-зис |
Сбаз |
Опор-ний план В |
8 |
10 |
0 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
- М |
θ |
|
А1 |
А2↓ |
А3 |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
||||||
1 |
А2 |
10 |
414/3=138 |
2/3 |
|
0 |
2/3 |
1/3 |
0 |
4/3 |
-4/3 |
(-2) до 2 ряд. |
|
2 |
А6 |
0 |
371 |
3 |
2 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
|
|
3 |
А3 |
0 |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
і |
Ба-зис |
Сбаз |
Опор-ний план В |
8 |
10 |
0 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
- М |
θ |
А1 |
А2↓ |
А3 |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
|||||
1 |
А2 |
10 |
138 |
2/3 |
1 |
0 |
2/3 |
1/3 |
0 |
4/3 |
-4/3 |
207 |
2 |
А6 |
0 |
138* (-2) +371=95 |
5/3 |
0 |
0 |
2/3 |
-2/3 |
1 |
-5/3 |
5/3 |
95/5*3=57 |
3 |
А3 |
0 |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
- |
|
|
1380 |
-4/3 |
0 |
0 |
35/3 |
10/3 |
0 |
40/3 |
-40/3 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
М |
|||
і |
Ба-зис |
Сбаз |
Опор-ний план В |
8 |
10 |
0 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
- М |
θ |
|
А1↓ |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
||||||
1 |
А2 |
10 |
138 |
2/3 |
1 |
0 |
2/3 |
1/3 |
0 |
4/3 |
-4/3 |
207 |
|
2 |
А6 |
0 |
95 |
|
0 |
0 |
2/3 |
-2/3 |
1 |
-5/3 |
5/3 |
57 |
|
3 |
А3 |
0 |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
- |
|
|
|
1380 |
-4/3 |
0 |
0 |
35/3 |
10/3 |
0 |
40/3 |
-40/3 |
|
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
М |
||||
і |
Ба-зис |
Сбаз |
Опор-ний план В |
8 |
10 |
0 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
- М |
θ |
|
А1↓ |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
||||||
1 |
А2 |
10 |
138 |
2/3 |
1 |
0 |
2/3 |
1/3 |
0 |
4/3 |
-4/3 |
|
|
2 |
А1 |
8 |
57 |
|
0 |
0 |
2/5 |
-2/5 |
3/5 |
1 |
1 |
(-2/3) до 1 ряд |
|
3 |
А3 |
0 |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
і |
Ба-зис |
Сбаз |
Опор-ний план В |
8 |
10 |
0 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
- М |
θ |
А1↓ |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
А6 |
А7 |
А8 |
|||||
1 |
А2 |
10 |
100 |
0 |
1 |
0 |
2/5 |
3/5 |
-2/5 |
2/5 |
-2 |
|
2 |
А1 |
8 |
57 |
1 |
0 |
0 |
2/5 |
-2/5 |
3/5 |
1 |
1 |
|
3 |
А3 |
0 |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
1456 |
0 |
0 |
0 |
12,2 |
14/5 |
4/5 |
44/3 |
-12 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
М |
|||
Оптимальний план:
Х* = (57; 100; 9; 0; 0; 0; 0),
Отже, оптимальним є виробництво 57 одиниць продукції А, 100 одиниць продукції В і 9 одиниць продукції С. Тоді прибуток буде найбільшим і становитиме 1456 грн.