
VII. Стереометрия
1. Точка О
– середина бокового ребра
прямой призмы
,
в которой
,
АВ = ВС = 20,
АС
= 32. Найдите угол между прямыми
и
.
2. Ребро куба
равно
.
Найдите расстояние между прямыми
и
.
3. Основание
правильной призмы
– треугольник
,
в котором АВ
= 4, а точка
Т
– середина стороны
АВ. Боковое
ребро призмы равно
.
Найдите угол между прямой
и плоскостью боковой грани
.
4. Все боковые ребра пирамиды MABCD равны, основание – прямоугольник, диагональ которого равна 2, а угол между диагоналями равен 300. Высота пирамиды равна 2,5. найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, параллельной прямой АМ и содержащей точки В и D.
5. Основание пирамиды MABCD – квадрат ABCD со стороной, равной 6. грани DMC и BMC перпендикулярны плоскости основания. Точка К делит ребро АМ в отношении 1 : 2, считая от вершины А. Найдите расстояние от точки К до плоскости DMC.
6. Высота правильной
треугольной призмы
равна 3, а сторона основания равна 8.
Найдите площадь сечения, проходящего
через вершину А
и середины ребер
и
.
7. Основанием прямой
призмы
служит ромб со стороной 2 и углом А,
равным 600.
Плоскость
наклонена к основанию под углом 600.
Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
8. В основании
пирамиды SABC
лежит равнобедренный прямоугольный
треугольник АВС
(
).
Все боковые ребра пирамиды равны. Грань
SAC
образует с плоскостью основания угол,
равный 450.
Найдите объем пирамиды, если SA
=
.
9.Конус вписан в
пирамиду, основанием которой служит
прямоугольная трапеция с основаниями,
равными 2 и 4. Объем конуса равен
.
Найдите угол наклона боковых граней к
плоскости основания.
10. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Поверхность вписанного в пирамиду шара делит высоту пирамиды пополам. Найдите боковое ребро пирамиды.
11. В цилиндр, высота которого равна а, вписан прямоугольник, у которого одна сторона равна а, а другая наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 600. Зная, что вершины прямоугольника находятся на окружностях оснований цилиндра, найдите площадь осевого сечения цилиндра.
12. Основание
пирамиды – прямоугольник, стороны
которого равны
и
,
а все боковые ребра пирамиды равны друг
другу. Секущая плоскость
проходит через вершину пирамиды и
середины двух смежных сторон основания.
Косинус угла между плоскостями основания
и сечения равен 0,6. Найдите объем
треугольной пирамиды, отсекаемой от
данной пирамиды плоскостью
.
13. Угол наклона
боковой грани к плоскости основания
правильной четырехугольной пирамиды
равен 600,
а боковое ребро равно
.
Найдите расстояние между центрами
вписанного и описанного шаров.
14. Через вершину конуса и хорду основания проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 450. Радиус основания конуса равен 4, а высота – 3. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
15. В прямую призму
вписан цилиндр, площадь полной поверхности
которого равна
.
Основание призмы – ромб с углом 450.
Расстояние между осью цилиндра и
диагональю боковой грани призмы равно
.
Найдите объем цилинда.